III. Задания для самостоятельной работы по изучаемой теме

III. Задания для самостоятельной работы по изучаемой теме

III. Задания для самостоятельной работы по изучаемой теме

IV. Задания для самостоятельной работы по изучаемой теме

Вам предложены задания с выбором ответа (в каждом задании только один ответ правильный). Выберите верный ответ (10 баллов).

«ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ»

1. Ниже приведены размеры одежды 50 учащихся 9 класса:

50 40 44 44 46 46 44 48 46 44

38 44 48 50 40 42 50 46 54 44

42 42 52 44 46 38 46 42 44 48

46 48 44 40 52 44 48 50 46 46

48 40 46 42 44 50 46 44 46 48.

На основании этих данных составить таблицы распределения по частотам и относительным частотам значений случайной величины Х – размеров одежды учащихся 9 класса.

2. Выборка состоит из всех букв, входящих в двустишие: «…Это дерево – сосна,

И судьба сосны ясна…».

а) Выпишите ряд данных (значения вариант) выборки;

б) найдите объем выборки;

в) определите кратность и частоту варианты «О»;

г)какова наибольшая процентная частота вариант выборки?

3. При изучении учебной нагрузки учащихся попросили 32 восьмиклассников отметить время (с точностью до 0,1 часа), которое они затратили в определенный день на выполнение домашних заданий. Получили следующие данные:

2,7; 2,5; 3,1; 3,2; 3,4; 1,6; 1,8; 4,2;

2,6; 3,4; 3,2; 2,9; 1,9; 1,5; 3,7; 3,6;

3,1; 2,9; 2,8; 1,5; 3,1; 3,4; 2,2; 2,8;

4,1; 2,4; 4,3; 1,9; 3,6; 1,8; 2,8; 3.9.

Представьте полученные данные в виде интервального ряда с интервалами длиной 0,5.

4. В таблице показано распределение призывников района по росту.

Рост, см	Частота
155-160
160-165
165-170
170-175
175-180
180-185
185-190
190-195

По данным этой таблицы составьте новую таблицу с интервалом в 10 см. Найдите среднее значение роста призывников.

5. Ниже показана среднесуточная переработка сахара (в тыс. ц) заводами сахарной промышленности некоторого региона:

12,0; 13,6; 14,7; 18,9; 17,3; 16,1;

20,1; 16,9; 19,1; 18,4; 17,8; 15,6;

20,8; 19,7; 18,9; 19,0; 16,1; 15,8.

Представьте эти данные в виде интервального ряда с интервалами длиной в три единицы. Найдите, сколько сахара в среднем перерабатывал в сутки завод региона: а) заменив каждый интервал его серединой; б) используя заданный ряд. В каком случае средняя выработка будет точнее?

6. В фермерском хозяйстве отведены под пшеницу три участка, площади которых 12 га, 8 га и 6 га. Средняя урожайность на первом участке составляет 18 ц с га, на втором – 19 ц с га, на третьем – 23 ц с га. Чему равна средняя урожайность пшеницы в этом хозяйстве?

7. На соревнованиях по фигурному катанию судьи поставили спортсмену следующие оценки: 5,2; 5,4; 5,5; 5,4; 5,1; 5,1; 5,4; 5,5 5,3.

8. Каждый из 24 участников соревнований по стрельбе произвел 10 выстрелов. Отмечая каждый раз число попаданий в цель, получили следующий ряд данных:

6, 5, 5, 6, 8, 3, 7, 6, 8, 5, 4, 9,

7, 7, 9, 8, 6, 6, 5, 6, 4, 3, 6, 5.

Для полученного ряда данных найдите среднее арифметическое, медиану, размах и моду. Что характеризует каждый из этих показателей?

9. Ниже указана среднесуточная переработка сахара (в тыс. ц) заводами сахарной промышленности некоторого региона.

12,2; 13,2; 13,7; 18,0; 18,6; 12,2; 18,5; 12,4; 14,2; 17,8.

Для полученного ряда данных найдите среднее арифметическое, медиану, размах и моду. Что характеризует каждый из этих показателей?

10. Найти размах, моду и медиану выборки:

а) 1, 3, -2, 4, -2, 0, 2, 3, 1, -2, 4;

б) 0,2; 0,4; 0,1; 0,5; 0,1; 0,2; 0,3; 0,5; 0,4; 0,6.

11. В таблице приведены данные о рабочем стаже (в годах) сотрудников лаборатории. Найти среднее, моду, медиану рассматриваемой совокупности.

12. Найти дисперсию совокупности значений случайной величины Х, заданной частотным распределением.

15. Определить, какая выборка -1, 0, 2, 3, 5, 3 или -5, -3, 0, -3, -1 имеет меньшее рассеяние данных около своего среднего значения.

16. При проверке 70 работ по русскому языку отмечали число орфографических ошибок, допущенных учащимися. Полученный ряд данных представили в виде таблицы частот.

Каково наибольшее различие в числе допущенных ошибок? Какое число ошибок является типичным для данной группы учащихся? Укажите, какие статистические характеристики были использованы при ответе на поставленные вопросы.

Задачи по статистике

1. В течение четверти Сергей получил следующие оценки по математике: одну «двойку», три «тройки», пять «четверок» и одну «пятерку». Найдите сумму среднего арифметического и моды его оценок.

Ответ. 8,6.

2. Записана среднесуточная температура (в градусах) в Москве в течение пяти дней в октябре месяце: 6; 7; 7; 9; 11. На сколько отличается среднее арифметическое этого набора чисел от его медианы?

Ответ. 1.

3. Записан рост (в сантиметрах) пяти учащихся: 156, 166, 134, 132, 132. На сколько отличается среднее арифметическое этого набора чисел от его медианы?

Ответ. 10.

4. В таблице представлены результаты четырех стрелков, показанные ими на тренировке.

Имя стрелка	Число выстрелов	Число попаданий
Вероника

Ответ. 2.

5. Пятеро друзей нашли отклонения (в минутах) показаний своих наручных часов от точного времени: -2, 0, 3, -5, -1. Найдите сумму среднего арифметического этого набора чисел и его медианы.

Ответ. - 2.

6. Записана стоимость (в рублях) глазированных сырков «Вкусняшка» в магазинах микрорайона: 3, 5, 6, 7, 9, 4, 8. На сколько отличается среднее арифметическое этого набора от его медианы?

Ответ. 0.

7. В ряду чисел 3, 7, 15, ___ , 23 пропущено одно число. Найдите это число, если известно, что среднее арифметическое этого ряда чисел равно 13.

Ответ. 17.

8. Записан расход электроэнергии (в кВт) некоторой семьей в течение первых пяти месяцев года: 138, 140, 135, 132, 125. На сколько отличается среднее арифметическое этого набора чисел от его медианы?

Ответ. 2.

9. В таблице приведены данные о продаже картофе­ля в некоторой овощной палатке в течение недели.

День недели	Поне­дель­ник	Втор­ник	Среда	Чет­верг	Пят­ница	Суб­бота	Вос­кре­сенье
Количество проданного картофеля, кг

Сколько килограммов картофеля в среднем продава­ли ежедневно в эту неделю?

Ответ. 125.

10. Среднее арифметическое ряда, состоящего из десяти чисел, равно 16. К этому ряду приписали число 27. Чему равно среднее арифметическое нового ряда чисел?

Ответ. 17.

11. Среднее арифметическое ряда, состоящего из десяти чисел, равно 16. Из этого ряда вычеркнули число 7. Чему равно среднее арифметическое нового ряда чисел?

Ответ. 17.

12. Каждый из девяти участников соревнований по стрельбе произвел по десять выстрелов. Записано число попаданий в цель каждого из этих участников: 12, 10, 5, 4, 6, 8, 9, 5, 4. На сколько отличается среднее арифмети­ческое этого набора чисел от его медианы?

Ответ. 1.

13. Пять сотрудников отдела приобрели акции одинаковой стоимости некоторого акционерного общества . Записано количество этих акций, приобретенных каждым из сотрудников: 5, 10, 12, 7, 3. На сколько отличается среднее арифметическое этого набора чисел от его медианы?

Ответ. 0,4.

14. В университете ведут ежедневный учет поступив­ших писем. На основании этого учета получен следующий ряд данных (число писем, поступавших ежедневно в тече­ние этой недели): 39, 43, 40, 56, 38, 21,1. На сколько отли­чается среднее арифметическое этого набора чисел от его медианы?

Ответ. 5.

15. В течение четверти Алексей получил следующие оценки по физике: две «двойки», две «тройки», четыре «четверки» и две «пятерки». Найдите сумму среднего арифметического и медианы его оценок.

Ответ. 8.

16. Записана среднесуточная температура (в градусах) в Москве в течение пяти дней в сентябре месяце: 15, 10, 18, 11, 11. На сколько отличается среднее арифметическое этого набора чисел от его моды?

Ответ. 2.

17. Записан рост (в сантиметрах) пяти учащихся: 164, 162, 156, 132, 136. На сколько отличается среднее арифметическое этого набора чисел от его медианы?

Ответ. 6.

18. В таблице представлены результаты четырех стрелков, показанные ими на тренировке.

Имя стрелка	Число выстрелов	Число попаданий
Вероника

Тренер решил послать на соревнования того стрелка, у которого относительная частота попадания выше. Кого из стрелков выберет тренер?

1) Веронику 2) Евгения 3) Олега 4) Ирину

Ответ. 2.

19. Пятеро друзей нашли отклонения (в минутах) показаний своих наручных часов от точного времени: -1, 0, -4, -1, 1. Найдите сумму среднего арифметического этого набора чисел и его моды.

Ответ. - 2.

20. Записана стоимость (в рублях) глазированных сырков «Малыш» в магазинах микрорайона: 4, 4, 6, 7, 11, 9, 8. Найдите сумму среднего арифметического этого набора и его моды.

Ответ. 11.

21. В ряду чисел 3, 7, 15, ___ , 21 пропущено одно число. Найдите это число, если известно, что среднее арифметическое этого ряда чисел равно 12.

Ответ. 14.

22. Записан расход электроэнергии (в кВт) некоторой семьей в течение первых пяти месяцев года: 146, 140, 138, 136, 130. На сколько отличается среднее арифметическое этого набора чисел от его медианы?

Ответ. 0.

23. Записан расход электроэнергии (в кВт) некоторой семьей в течение первых пяти месяцев года: 152, 150, 148, 140, 130. На сколько отличается среднее арифметическое этого набора чисел от его медианы?

Ответ. 4.

24. В таблице приведены данные о продаже картофе­ля в некоторой овощной палатке в течение недели.

День недели	Поне­дель­ник	Втор­ник		Чет­верг	Пят­ница	Суб­бота	Вос­кре­сенье
Количество проданного картофеля, кг

На сколько отличается среднее арифметическое ко­личества картофеля (в кг), продаваемого ежедневно в этой палатке, от его медианы?

Ответ. 5.

25. Среднее арифметическое ряда, состоящего из десяти чисел, равно 18. К этому ряду приписали число 29. Чему равно среднее арифметическое нового ряда чисел?

Ответ. 19.

26. Среднее арифметическое ряда, состоящего из десяти чисел, равно 18. Из этого ряда вычеркнули число 36. Чему равно среднее арифметическое нового ряда чисел?

Ответ. 16.

27. Каждый из девяти участников соревнований по стрельбе произвел по десять выстрелов. Записано число попаданий в цель каждого из этих участников: 9, 8, 6, 5, 6, 9, 6, 5, 9. На сколько отличается среднее арифметичес­кое этого набора чисел от его медианы?

Ответ. 1.

28. Пять сотрудников отдела приобрели акции одинаковой стоимости некоторого акционерного общества. Записано количество этих акций, приобретенных каждым из сотрудников: 5, 7, 10, 11, 7. На сколько отличается среднее арифметическое этого набора чисел от его медианы?

Ответ. 1.

29. В университете ведут ежедневный учет поступивших писем. На основании этого учета получен следующий ряд данных (число писем, поступавших ежедневно в течение этой недели): 39, 42, 45, 50, 38, 0,17. На сколько отличается среднее арифметическое этого набора чисел от его медианы?

Ответ. 6.

30. Записана среднесуточная температура (в градусах) в Москве в течение пяти дней в июне месяце: 25, 27, 29, 24, 25, На сколько отличается среднее арифметическое этого набора чисел от его медианы?

Ответ. 1.

31. Записан рост (в сантиметрах) пяти учащихся: 164, 161, 152, 150, 148. На сколько отличается среднее арифметическое этого набора чисел от его медианы?

Ответ. 3.

32. В таблице представлены результаты четырех стрелков, показанные ими на тренировке.

Имя стрелка	Число выстрелов	Число попаданий
Анастасия

Тренер решил послать на соревнования того стрелка, у которого относительная частота попадания выше.

Кого из стрелков выберет тренер?

1) Анастасию 2) Евгения 3) Сергея 4) Ирину

Ответ. 3.

33. Записана стоимость (в рублях) сметаны в магази­нах микрорайона: 24, 25, 27, 27, 27, 24, 28. На сколько отличается среднее арифметическое этого набора от его медианы?

Ответ. 1.

34. В ряду чисел 3, 7, 17, ___ , 23 пропущено одно число. Найдите это число, если известно, что среднее арифметическое этого ряда чисел равно 14.

Ответ. 20.

35. Записан расход электроэнергии (в кВтч) некоторой семьей в течение первых пяти месяцев года: 141, 130, 130, 124, 120. На сколько отличается среднее арифметическое этого набора чисел от его медианы?

Ответ. 1.

36. В таблице приведены данные о продаже моркови в некоторой овощной палатке в течение недели.

День недели	Поне­дельник	Втор­ник		Чет­верг	Пят­ница	Суб­бота	Воскре­сенье
Количество проданной моркови, кг

Сколько килограммов моркови в среднем продавали ежедневно в эту неделю?

Ответ. 54.

37. Игральный кубик подбросили 100 раз. Результа­ты представлены в таблице.

Количество выпавших очков
Число наступлений события

Какова относительная частота выпадения не менее пяти очков?

Ответ. 0,35.

38. Среднее арифметическое ряда, состоящего из де­сяти чисел, равно 12. К этому ряду приписали число 34. Чему равно среднее арифметическое нового ряда чисел?

Ответ. 14.

39. Баскетболист, выполнив на тренировке 50 бросков, попал в кольцо 36 раз. Какова относительная частота попаданий этого баскетболиста в кольцо?

Ответ. Чернов в белом костюме, Белов - в сером, Серов - в черном.

40. Среднее арифметическое ряда, состоящего из десяти чисел, равно 14. Из этого ряда вычеркнули число 32. Чему равно среднее арифметическое нового ряда чисел?

Ответ. 12.

41. Каждый из семи учащихся 9-го класса в заданный день отметил время (в минутах), затраченное на выполнение домашнего задания по алгебре. Получился следующий ряд чисел: 24, 45, 40, 50, 30, 35, 42. На сколько отличается среднее арифметическое этого набора чисел от его медианы?

Ответ. 2.

42. Пять сотрудников некоторого акционерного общества приобрели акции одинаковой стоимости этого общества. Записано количество этих акций, приобретенных каждым из сотрудников: 7, 12, 15, 8, 3. На сколько отличается среднее арифметическое этого набора чисел от его медианы?

Ответ. 1.

43. Каждый из семи участников соревнований по стрельбе произвел по десять выстрелов. Записано число попаданий в цель каждого из этих участников: 9, 6, 5, 8, 9, 6, 6. На сколько отличается среднее арифметическое второго набора чисел от его моды?

Ответ. 1.

44. В таблице приведены данные о продаже цифро­вых фотоаппаратов в одном из офисов кампании в тече­ние недели.

День недели	Поне­дельник	Втор­ник		Чет­верг	Пят­ница	Суб­бота	Воскре­сенье
Количество проданных цифровых фотоаппара­тов, шт.

Чему равно среднее число ежедневно продаваемых в этом офисе цифровых фотоаппаратов?

Ответ. 19.

45. В таблице приведены данные о продаже мобиль­ных телефонов в одном из офисов кампании в течение не­дели.

День недели	Поне­дельник	Втор­ник	Сре­да	Чет­верг	Пят­ница	Суб­бота	Воскре­сенье
Количество проданных телефонов, шт.

Чему равно среднее число ежедневно продаваемых в этом офисе мобильных телефонов?

Ответ. 37.

46. В таблице представлены результаты четырех стрелков, показанные ими на тренировке.

Имя стрелка	Число выстрелов	Число попаданий
Вероника

Тренер решил послать на соревнования того стрелка, у которого относительная частота попадания выше. Кого из стрелков выберет тренер?

1) Веронику 2) Евгения 3) Олега 4) Ирину

Ответ. 2.

47. Пятеро друзей нашли отклонения (в минутах) показаний своих наручных часов от точного времени: -1, 0 -3, -2, 1. Найдите сумму среднего арифметического этого набора чисел и его медианы.

Ответ. -2.

48. На уроке по теории вероятностей шестеро ребят подбрасывали монетки. В таблицу они записали, сколько раз у них выпадали орёл и решка.

1. Сколько раз у Вовы выпал орёл?

2. Что чаще выпадало у Даши: орёл или решка, и сколько раз?

3. У кого из ребят больше всего раз выпала решка?

4. Сколько раз всего выпал орёл?

5. Сколько раз Оля бросала монетку?

6. Кто из школьников бросал монетку больше всего раз и сколько?

7. Сколько раз всего школьники бросали монетку?

Ответ. 1) 11; 2) Решка, 8; 3) У Аси; 4) 48; 5) 13; 6) Ася, 22;

49. На уроке по теории вероятностей Таня, Ваня, Митя и Вика подбра­сывали игральные кости. В таблицу они записали, сколько раз у них выпадало каждое число.

Таня
Ваня
Митя
Вика

1. Сколько раз у Вики выпала тройка?

2. Какое значение чаще всего выпадало у Вани и сколько раз?

3. У кого из них больше всего раз выпала четвёрка?

4. Сколько раз всего выпала пятёрка?

5. Сколько раз Таня бросала кубик?

6. Сколько раз всего школьники бросали кости?

Ответ. 1) 4; 2) Двойка, 11; 3) У Вики; 4) 28; 5) 56;

50. В школе два шестых класса. На контрольной работе в 6 «А» классе было получено 5 двоек, а в 6 «Б»-4 двойки. При этом в 6 «А» учится 20 школьников, а в 6 «Б» - 25.

а) Сколько процентов учащихся в 6 «А» получили двойку?

б) Сколько процентов учащихся в 6 «Б» получили двойку?

в) Найдите среднее арифметическое результатов заданий а) и б).

г) Найдите, сколько процентов всех шестиклассников получили
двойку.

д) Объясните, почему результаты в заданиях в) и г) не совпадают.

Ответ. а) 25%; б) 16%; в) 20,5%; г) 20%; д) потому что в классах разное число учеников.

Разделы: Математика

Статистика (от латинского status, состояние положение вещей)-наука, которая занимается, получением, обработкой и анализом количественных данных о разнообразных массовых явлениях, происходящих в природе и в обществе. Статистика изучает численность отдельных групп населения, производство и потребление разнообразных видов продукции, природные ресурсы. Результаты статистических исследований широко используются для практических и научных выводов. Приложение 2 .

Среднее арифметическое, размах и мода.

• Средним арифметическим ряда чисел называется частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых.

При изучении учебной нагрузки учащихся выделили группу из 12 семиклассников. Их попросили отметить в определенный день время (в минутах), затраченное на выполнение домашнего задания по алгебре. Получили такие данные:

23, 18, 25, 20, 25, 25, 32, 37, 34, 26, 34, 25.

Имея этот ряд данных, можно определить, сколько минут в среднем затратили учащиеся на выполнение домашнего задания по алгебре.

Для этого указанные числа надо сложить и сумму разделить на 12.

= = 27

Число 27, полученное в результате, называют средним арифметическим рассматриваемого ряда чисел.

№ 1. Найдите среднее арифметическое чисел:

А) 24, 22, 27, 20,16, 31
Б) 11, 9, 7, 6, 2, 0,1
В) 30, 5, 23, 5, 28, 30
Г) 144, 146, 114, 138.

№ 2. В таблице приведены данные о продаже в течение недели картофеля, завезенного в овощную палатку:

Сколько картофеля в среднем продавали ежедневно в эту неделю?

№ 3. В аттестате о среднем образовании у четверых друзей – выпускников школы – оказались следующие оценки:

Ильин: 4, 4, 5, 5, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 4, 4, 5, 4, 4
Романов: 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 3, 4, 4, 4, 5, 3, 4, 4
Семенов: 3, 4, 3, 3, 3, 3, 4, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 4
Попов: 5, 5, 5, 5, 5, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 4, 4, 4.

С каким средним балом окончил школу каждый из этих выпускников?

• Размахом ряда чисел

называется разность между наибольшим и наименьшим из этих чисел.

Размах ряда находят тогда, когда хотят определить, как велик разброс данных в ряду.

№ 1. Каждый из 24 участников соревнования по стрельбе произвел по десять выстрелов. Отмечая всякий раз, число попаданий в цель получили следующий ряд данных:

6, 5, 5, 6, 8, 3, 7, 6, 8, 5, 4, 9, 7, 7, 9, 8, 6, 6, 5, 6, 4, 3, 6, 5.

Найдите для этого ряда размах.

№ 2. На соревнованиях по фигурному катанию судьи поставили спортсмену следующие оценки:

5,2; 5,4; 5,5; 5,4; 5,1; 5,1; 5,4; 5,5; 5,3.

Для полученного ряда чисел найдите размах и среднее арифметическое. Каков смысл каждого из этих показателей?

№ 3. Найдите размах ряда чисел.

А) 32, 26, 18, 26, 15, 21, 26;
Б) 21, 18,5, 25,3, 18,5, 17,9;
В) 67,1, 68,2, 67,1, 70,4, 68,2;
Г) 0,6, 0,8, 0,5, 0,9, 1,1.

• Модой ряда чисел

называется число, наиболее часто встречающееся в данном ряду.

Ряд чисел может иметь более одной моды или не иметь ее совсем.

47, 46, 50, 52, 47, 52, 49, 45, 43, 53 – (имеет)

69, 68, 66, 70, 67, 71, 74, 63, 73, 72 – (не имеет)

Пример. Пусть, проведя учет деталей, изготовленных за смену рабочими одной бригады, получили такой ряд данных:

36, 35, 35,36, 37, 37, 36, 37, 38, 36, 36, 36, 39, 39, 37, 39, 38, 38 ,38, 39 ,39, 36.

Найдите для него моду ряда чисел. Для этого удобно предварительно составить из полученных данных упорядоченный ряд чисел, т.е. такой ряд, в котором каждое последующее число меньше (или больше) предыдущего.

Получили:

35, 35, 36, 36, 36, 36, 36, 36, 36, 36, 37, 37, 37, 37, 38, 38, 38, 39, 39, 39 ,39.

Ответ. Число 36 является модой этого ряда чисел.

№ 1. Найдите моду ряда чисел.

45, 48, 85, 31, 23, 45, 67, 45, 19, 48, 45, 85, 19, 27,45, 62, 45, 23, 67, 45, 89, 19, 87, 45, 56, 45, 43, 23, 12, 45, 78, 28, 19, 45, 65, 45, 81, 83, 45.

№ 2. В таблице записаны результаты ежедневного измерения на метеостанции в полдень температуры воздуха (в градусах Цельсия) в течении первой декады марта:

Найдите моду ряда чисел и сделайте вывод, в какие числа марта температура воздуха была одинаковой. Найдите среднюю температуру воздуха. Составьте таблицу отклонений от средней температуры воздуха в полдень в каждый из дней декады.

№ 3. В таблице показано число деталей, изготовленных за смену рабочими одной бригады:

Для представленного в таблице ряда чисел найдите моду. Каков смысл этого показателя?

Медиана как статистическая характеристика.

• Медианой упорядоченного ряда чисел с нечетным числом членов называется число, записанное посередине, а медианой упорядоченного ряда чисел с четным числом членов называется среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине.
  Медианой произвольного ряда чисел называется медиана соответствующего упорядоченного ряда.

В таблице показан расход электроэнергии в январе жильцами девяти квартир:

Составим из данных, приведенных в таблице, упорядоченный ряд:

64, 72, 72, 75, 78, 82, 85, 91, 93.

В полученном упорядоченном ряду девять чисел. Нетрудно заметить, что в середине ряда расположено число 78 : слева от него записано четыре числа и справа тоже четыре числа. Говорят, что число 78 является серединным числом, или, иначе, медианой , рассматриваемого упорядоченного ряда чисел (от латинского слова mediana , которое означало “среднее”). Это число считают медианой исходного ряда данных.

Пусть при сборе данных о расходе электроэнергии к указанным девяти квартирам добавили еще десятую. Получили такую таблицу:

Так же как в первом случае, представим полученные данные в виде упорядоченного ряда чисел:

64, 72, 72, 75, 78, 82, 85, 88, 91, 93.

В этом числовом ряду четное число членов и имеются два числа, расположенные в середине ряда: 78 и 82. Найдем среднее арифметическое этих чисел: =80. Число 80, не являясь членом ряда, разбивает этот ряд на две одинаковые по численности группы: слева от него находится пять членов ряда и справа тоже пять членов ряда:

64, 72, 72, 75, , 85, 88, 91, 93.

Говорят, что в этом случае медианой рассматриваемого упорядоченного ряда, а также исходного ряда данных, записанного в таблице, является число 80 .

№ 1. Найдите медиану ряда чисел:

А) 30, 32, 37 ,40, 41, 42 ,45 ,49 ,52;
Б) 102, 104, 205, 207, 327 ,408 ,417;
В) 16, 18 ,20, 22, 24 ,26;
Г)1,2 1,4 2,2, 2,6, 3,2 3,8 4,4 5, 6.

№ 2. В таблице показано число посетителей выставки в разные дни недели:

Найдите медиану ряда чисел. Постройте гистограмму и посмотрите в какой день посетителей было больше.

№ 3. Ниже указана среднесуточная переработка сахара (в тыс. ц.) заводами сахарной промышленности некоторых регионов:

12,2, 13,2, 13,7, 18,0 18,6 12,2 18,5 12,4 14,2 17,8.

Для представленного ряда данных найдите медиану. Что характеризует этот показатель?

Задания для самостоятельной работы.

1. На выборах мэра города будут баллотироваться три кандидата: Алексеева, Иванов, Карпов (обозначим их буквами А, И, К). Проводя опрос 50 избирателей, выяснили, за кого из кандидатов они собираются голосовать. Получили следующие данные: И, А, И, И, К, К, И, И, И, А, К, А, А, А, К, К, И, К, А, А, И, К, И, И, К, И, К, А, И, И, И, А, И, И, К, И, А, И, К, К, И, К, А, И, И, И, А, А, К, И. Представьте эти данные в виде таблицы частот.

2. В таблице приведены расходы учащегося за 4 дня:

Некто обработал эти данные и записал следующее:

а) 18 + 25 + 24 + 25 = 92; 92:4 = 23. (……………………….………..) = 23(р.)
б) 18, 24, 25, 25; (24 + 25):2 = 24,5. (………………………….) = 24,5(р.)
в) 18, 25, 24, 25;(…………………….) = 25(р.)
г) 25 – 18 = 7.(……………………………) = 7(р.)

В скобках указаны наименования статистических характеристик. Определите, какая из статистических характеристик находится в каждом задании.

3. В течение года Лена получила следующие отметки за контрольные по алгебре: одну “двойку”, три “тройки”, четыре “четверки” и три “пятерки”. Найдите среднее арифметическое, моду и медиану этих данных.

4. Президент компании получает 100000р. в год, четверо его заместителей получают по 20000р. в год, а 20 служащих компании получают по 10000 р. в год. Найдите все средние (среднее арифметическое, моду, медиану) зарплат в компании.

Наглядное представление статистической информации.

1. Одним из хорошо известных способов представления ряда данных является построение столбчатых диаграмм.

Столбчатые диаграммы используют тогда, когда хотят проиллюстрировать динамику изменения данных во времени или распределение данных, полученных в результате статистических исследований.

Столбчатая диаграмма составлена из прямоугольников равной ширины, с выбранными произвольно основаниями, расположенных на одинаковом расстоянии друг от друга. Высота каждого прямоугольника равна(при выбранном масштабе) исследуемой величине (частоте).

2. Для наглядного изображения соотношения между частями исследуемой совокупности удобно использовать круговые диаграммы .

Если результат статистического исследования представлен в виде таблицы относительных частот, то для построения круговой диаграммы круг разбивается на секторы, центральные углы которых пропорциональны относительным частотам, определенным по каждой группе.

Круговая диаграмма сохраняет свою наглядность и выразительность лишь при небольшом числе частей совокупности.

3. Динамику изменения статистических данных во времени часто иллюстрируют с помощью полигона . Для построения полигона отмечают в координатной плоскости точки, абсциссами которых служат моменты времени, а ординатами – соответствующие им статистические данные. Соединив последовательно эти точки отрезками, получают ломаную, которая называется полигоном.

Если данные представлены в виде таблицы частот или относительных частот, то для построения полигона отмечают в координатной плоскости точки, абсциссами которых служат статистические данные, а ординатами – их частоты или относительные частоты. Соединив последовательно эти точки отрезками, получают полигон распределения данных.

4. Интервальные ряды данных изображают с помощью гистограмм . Гистограмма представляет собой ступенчатую фигуру, составленную из сомкнутых прямоугольников. Основание каждого прямоугольника равно длине интервала, а высота – частоте или относительной частоте. В гистограмме, в отличие от столбчатой диаграммы, основания прямоугольников выбираются не произвольно, а строго определены длиной интервала.

Задания для самостоятельного решения.

№ 1. Постройте столбчатую диаграмму, показывающую распределение рабочих цеха по тарифным разрядам, которое представлено в следующей таблице:

№ 2. В фермерском хозяйстве площади, отведенные под посевы зерновых, распределены следующим образом: пшеница – 63%; овес – 16%; просо – 12%; гречиха – 9%. Постройте круговую диаграмму, иллюстрирующую распределение площадей, отведенных под зерновые.

№ 3. В таблице показана урожайность зерновых в 43 хозяйствах района.

Постройте полигон распределения хозяйств по урожайности зерновых.

№ 4. При изучении распределения семей, проживающих в доме, по количеству членов семьи была составлена таблица, в которой для каждой семьи с одинаковым числом членов указана относительная частота:

Пользуясь таблицей постройте полигон относительных частот.

№ 5. На основе опроса была составлена следующая таблица распределения учащихся по времени, которое они затратили в определенный учебный день на просмотр телепередач:

Время, ч	Частота
0–1	12
1–2	24
2–3	8
3–4	5

Пользуясь таблицей, постройте соответствующую гистограмму.

№ 6. В оздоровительном лагере были получены следующие данные о массе 28 мальчиков (с точностью до 0,1 кг):

21,8; 29,3, 30,2, 20,0, 23,8, 24,5, 24,0, 20,8, 22,0, 20,8, 22,0, 25,0, 25,5, 28,2, 22,5, 21,0, 24,5, 24,8, 24,6, 24,3, 26,0, 26,8, 23,2, 27,0, 29,5, 23,0 22,8, 31,2.

Используя эти данные, заполните таблицы:

Вес, кг	Частота		Вес, кг	Частота
20–22			20–23
22–24			23–26
24–26			26–29
26–28			29–32
28–30
30–32

По данным этих таблиц постройте на разных рисунках в одном и том же масштабе две гистограммы. Что общего у этих гистограмм и чем они различаются?

№ 7. По четвертным оценкам по геометрии учащиеся одного класса распределились следующим образом: “5” – 4 ученика; “4” – 10 учеников; “3” – 18 учеников; “2” – 2 ученика. Постройте столбчатую диаграмму, характеризующую распределения учащихся по четвертным оценкам по геометрии.

Использованная литература:

1. Ткачева М.В. “Элементы статистики и вероятность”: учеб. пособие для 7–9 кл. общеобразоват. учреждений/ М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова. – М. : Просвещение, 2005.
2. Макарычев Ю.Н. Алгебра: элементы статистики и теории вероятностей: учеб. пособие для 7–9 кл. общеобразоват. Учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк; под ред. С.А. Теляковского– М. : Просвещение, 2004.
3. Шевелева Н.В. Математика (алгебра, элементы статистики и теории вероятностей). 9 класс / Н.В. Шевелева, Т.А. Корешкова, В.В. Мирошин. – М. : Национальное образование, 2011.

Дата проведения __________

Тема урока: Среднее арифметическое, размах и мода.

Цели урока: повторить понятия таких статистических характеристик, как среднее арифметическое, размах и мода, формировать умение находить средние статистические характеристики различных рядов; развить логическое мышление, память и внимание; воспитать в детях исполнительность, дисциплинированность, усидчивость, аккуратность; развить в детях интерес к математике.

Ход урока

Организация класса

Повторение ( Уравнение и его корни)

Дайте определение уравнения с одной переменной.

Что называют корнем уравнения?

Что значит решить уравнение?

Решить уравнение:

6х + 5 =23 -3х 2(х - 5) + 3х =11 -2х 3х - (х - 5) =14 -2х

Актуализация знаний повторить понятия таких статистических характеристик, как среднее арифметическое, размах, мода и медиана.

Статистика - это наука, занимающаяся сбором, обработкой, анализом количественных данных о разнообразных массовых явлениях, происходящих в природе и обществе.

Среднее арифметическое - это сумма всех чисел разделенная на их количество. (Среднее арифметическое называют средним значением числового ряда.)

Размах ряда чисел – это разность между наибольшим и наименьшим из этих чисел.

Мода ряда чисел – это число, которое встречается в данном ряду чаще других.

Медианой упорядоченного ряда чисел с нечетным числом членов называется число, записанное посередине, а с четным числом членов называется среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине.

Слово статистика переводится с латинского языка status- состояние, положение вещей.

Статистические характеристики: среднее арифметическое, размах, мода, медиана.

Усвоение нового материала

Задание №1: 12 семиклассников попросили отметить время (в минутах) затраченное на выполнение домашнего задания по алгебре. Получили следующие данные: 23,18,25,20,25,25,32,37,34,26,34,25. Сколько минут в среднем учащиеся потратили на выполнение домашнего задания?

Решение: 1) найдем среднее арифметическое:

2) найдем размах ряда: 37-18=19 (мин)

3) мода 25.

Задание №2: В городе Счастливом ежедневно измеряли в 18 00 температуру воздуха (в градусах Цельсия в течении 10 дней в результате чего была заполнена таблица:

Т ср = 0 С,

Размах = 25-13=12 0 С,

Задание №3: Найти размах чисел 2, 5, 8, 12, 33.

Решение: Наибольшее число здесь 33, наименьшее 2. Значит, размах составляет: 33 – 2 = 31.

Задание №4: Найдите моду ряда распределения:

а) 23 25 27 23 26 29 23 28 33 23 (мода 23);

б) 14 18 22 26 30 28 26 24 22 20 (моды: 22 и 26);

в) 14 18 22 26 30 32 34 36 38 40 (моды нет).

Задание №5 : Найти среднее арифметическое, размах и моду ряда чисел 1, 7, 3, 8, 7, 12, 22, 7, 11,22,8.

Решение: 1) Чаще всего в этом ряде чисел встречается число 7 (3 раза). Оно и является модой данного ряда чисел.

Решение упражнений

А) Найдите среднее арифметическое, медиану, размах и моду ряда чисел:

1) 32, 26, 18, 26, 15, 21, 26;

2) 21, 18, 5, 25, 3, 18, 5, 17, 9;

3) 67,1 68,2 67,1 70,4 68,2;

4) 0,6 0,8 0,5 0,9 1,1.

Б) Среднее арифметическое ряда, состоящего из десяти чисел, равно 15. К этому ряду приписали число 37. Чему равно среднее арифметическое нового ряда чисел.

В) В ряду чисел 2, 7, 10, __, 18, 19, 27 одно число оказалось стертым. Восстановите его, зная, что среднее арифметическое этого ряда чисел равно 14.

Г) Каждый из 24 участников соревнований по стрельбе произвел по десять выстрелов. Отмечая всякий раз число попаданий в цель, получили следующий ряд данных: 6, 5, 5, 6, 8, 3, 7, 6, 8, 5, 4, 9, 7, 7, 9, 8, 6, 6, 5, 6, 4, 3, 6, 5. Найдите для этого ряда размах и моду. Что характеризует каждый из этих показателей.

Подведение итогов

Что такое среднее арифметическое? Мода? Медиана? Размах?

Домашнее задание:

№164(задание на повторение), стр36-39 читать

№167(а,б), №177, 179

Для проведения соревнований по теннису могут применяться следующие системы:

Олимпийская система, кроме классического варианта имеет несколько модификаций:

При олимпийской системе участник или команда (в дальнейшем в тексте слова "игрок" или "участник" будет предполагать и "команда") выбывает из соревнования после первого поражения, а при усовершенствованных олимпийских системах – после нескольких поражений.

Круговая система предполагает участие игроков в соревновании до тех пор, пока каждый участник не встретится со всеми остальными. Победителем становится участник, набравший наибольшее количество очков.

Смешанная система основана на принципе сочетания круговой системы и олимпийской системы. Как правило, на предварительном (начальном) этапе соревнований применяется круговая система, а на заключительном – олимпийская. На предварительном этапе розыгрыша участники разбиваются на подгруппы по квалификационному или территориальному (как правило, при командных соревнованиях). Сильнейшие в подгруппах выходят в заключительный этап, где применяется олимпийская система.

Рассмотрим подробнее каждую из систем.

(иногда называют "система с выбыванием") применяется только для выявления победителя. После первого же поражения участник выбывает из соревнования. В результате победителем оказывается участник, не проигравший ни одного матча.

Используется во всех турнирах ITF , ATP , WTA (кроме заключительного турнира сильнейших) и на олимпийских играх.

Принцип назначения матчей между участниками соревнования и учёт их результатов проводится по специальной таблице, которую принято называть "турнирной сеткой". Она имеет неизменную схему и формируется для числа участников 8; 16; 32; 64; 128. Могут применяться турнирные сетки и на 24 или 48 участников, которые являются неполными сетками на 32 и 64 участника соответственно. В качестве примера приведены турнирные сетки на 32 и 24 участника соответственно. Максимальное количество игроков, ограниченное вышеуказанным рядом чисел, принято называть размером турнирной сетки.

В левом крайнем ряду фамилии участников располагаются на соответствующих строках по одному из трёх вариантов:

• посева (расстановки) на основании рейтинга (в этом случае первые матчи между участниками формируются по принципу "сильный против слабого");
• жребия (случайным образом);
• комбинации первых двух вариантов: вначале сеются определенное количество участников, имеющих наилучший рейтинг, а затем для остальных участников проводится слепой жребий.

В Таблице 1 приведено допустимое количество сеяных игроков в зависимости от размера турнирной сетки.

Таблица 1

Принцип составления турнирной сетки изложен в разделе "Составление турнирных сеток".

Соревнование проводят в несколь­ко кругов или туров (в международной терминологии "раундах" – Round ). Каждому кругу в турнирной сетке соответствует один вертикальный ряд. Каждый такой ряд состоит из горизонтальных строк, в ко­торых указывают фамилии участников или назва­ния команд. В каждом круге между собой встречаются участники, фамилии которых расположены в одном ряду на соседних (смежных) стро­ках, соединенных справа вертикальной линией, то есть участники разбиваются на пары, в которых встречаются между собой.

Победители в матчах 1-го круга попадают во 2-ой круг (в турнирной сетке – в следующий вертикальный ряд), по­бедители в матчах 2-го круг – в 3-й и т. д.

Круг, в котором встречаются 8 участников, называется чет­вертьфиналом (Quarterfinal ), 4 участника – полуфиналом (Semifinal , Semis ), 2 участника – фи­налом (Final ). Победитель финального матча становится победителем (Winner ) соревнования.

Зависимость количества кругов от числа участников приведена в Таблице 2.

Таблица 2

Количество игровых дней, необходимых для проведения со­ревнования (при условии, что каждый участник играет по одно­му матчу в день), равно числу кругов.

Общее количество матчей (М О ) определяется по формуле М О = N – 1 , где N – число участников.

Иногда в соревнованиях, проводимых по олимпийской сис­теме, разыгрывается 3-е место между участникам, проигравшими полуфинальные матчи (например, олимпийские игры).

Недостатком олимпийской системы является то, что продвижение по турнирной сетке носит достаточно большой случайный характер. Заведомо сильный игрок может проиграть слабому ("ну не его был день") и на этом закончить свои выступления. В тоже время его победитель, как правило, проигрывает в следующем круге. Кроме этого, большинство участников выбывает после сравнительно небольшого количества сыгранных матчей.

Предназначена для розыгрыша всех мест, где после каждого поражения спортсмен выбывает не из соревнования, а лишь из борьбы за определенное место. В результате победителем оказывается участник, не проигравший ни одного матча, а последнее место занимает игрок, не одержавший ни одной победы. Все другие места распределяются между остальными участниками в зависимости от последовательности их побед и поражений.

Турнир делится на несколько турнирных сеток – основную (сетка для победителей) и дополнительные (сетки для проигравших), которые называют "утешительными сетками". Все участники начинают турнир в основной сетке. Принцип составления основной сетки такой же, как и при олимпийской системе. В дополнительные сетки фами­лии участников попадают из основной после первого же поражения игрока в зависимости от того, в каком круге он проиграл. В каж­дом круге, начиная со второго, встречаются участники, имеющие одинаковые последовательности побед и поражений в предыду­щих кругах соревнования.

В качестве примера приведена основная и дополнительные сетки на 16 участников.

Пояснение. В сетке каждой паре в 1-м круге и в последующих кругах присвоен свой номер (нумерация условная и в применяемых на соревновании сетках отсутствует). Игроку, проигравшему матч в паре, присваивается номер, соответствующий этой паре со знаком «-», и обозначенный красным цветом. Из проигравших участников формируются утешительная сетка, соответствующая определённому разыгрываемому месту.

По аналогии с сеткой на 16 участников несложно сформировать турнирные сетки и для 24, 32, 64 участников.

Количество матчей и кругов в зависимости от числа участников приведено в Таблице 3.

Таблица 3

Число участников	Всего матчей	Количество матчей в каждом круге
		1-м	2-м	3-м	4-м	5-м	6-м

Позволяет участникам, проигравшим в первых кругах, продолжить участие до следующего поражения. Дополнительные сетки составляются, как и для обычной усовершенствованной олимпийской системы, однако в них разыгрываются не все места. Например, для сетки на 16 участников определяются 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9 и 10 место, а для 64 участников – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 17, 18, 33, 34. В качестве примера приведена турнирная сетка на 16 участников.

Принцип продвижения участников по основной и дополнительным сеткам такой же, как объяснено в предыдущем варианте (усовершенствованная олимпийская система).

По такой системе часто играются соревнования со вступительным (стартовым) взносом.

Участник, проигравший один матч в течение всего соревнования, сыграет всего на один матч меньше, чем победитель соревнования.

В Таблице 4 приведено общее количество матчей исходя из числа участников.

Таблица 4

(иногда называют "минусовка ") предполагает участие игроком до 2-х поражений. Она является более объективной, чем олимпийская система и все её разновидности, но более продолжительная. Основной отличительной особенностью является то, что игрок однажды проиграв, не теряет права выиграть турнир.

Соревнование проводится по двум сеткам – верхней (основной) и нижней (дополнительной). В качестве примера турнирной сетки на 16 участников. В основной сетке матчи происходит по олимпийской системе.

В каждой паре соперников, выигравший участник проходит в следующий круг. Участники, проигравшие в 1-м круге верхней сетки, переходят в нижнюю сетку во 2-й круг. В дальнейшем отсчёт кругов ведётся по верхней сетке. Участник, проигравший во 2-м круге верхней сетки, попадает в нижнюю сетку в 3-й круг и т.д.

Участник, проигравший в нижней сетке, выбывает из соревнования.

В последнем круге (суперфинале) встречаются участник, прошедший по основной сетке без поражений, и участник, дошедший до суперфинала по нижней сетке. Третье место занимает проигравший финал в нижней сетке.

• если выигрывает победитель верхней сетки, соревнования заканчиваются, а если выигрывает победитель нижней сетки, то участники играют еще одну встречу (с полным суперфиналом);
• проводится только одна встреча (с простым суперфиналом).

Преимущество данной системы в том, что она работает одинаково при любом количестве участников и является наиболее объективной при определении победителя и призёров. Недостаток – определение только первых трёх мест и в большом количестве матчей, а также в разнице числа матчей, которые играют участники для достижения финала по верхней и нижней сеткам. Например, для турнира в 8 участников финалист нижней сетки должен сыграть на 6 игр больше, при 16 участниках – на 12, при 32 участниках – на 24. Однако в верхней сетке играют те, кто никому не проигрывал, и можно считать, что более высокий уровень соперников компенсирует разницу в числе матчей.

В Таблице 5 приведено количество матчей по сеткам (верхняя/нижняя) при использовании первого варианта системы.

Таблица 5

Число участн.	Кол-во матчей	1 круг	2 круг	3 круг	4 круг	5 круг	6 круг	7 круг	8 круг	9 круг

Эта система использовалась при проведении итоговых турниров WTA в 1978-1982 годах.

Для уменьшения количества матчей может использоваться сетка, в которой единожды проигравшие продолжают бороться не за первое место, а за третье. Сетка приведена ниже.

УСОВЕРШЕНСТВОВАННАЯ ОЛИМПИЙСКАЯ СИСТЕМА С УТЕШИТЕЛЬНЫМ ПРИЗОМ предполагает проведение утешительного соревнования с теми участниками, которые проиграли в первом круге. Победитель утешительного турнира награждается памятным призом или наградой. Обе турнирные сетки: основная и утешительная составляются как для обычной олимпийской системы (с выбыванием), т.е., например, для 22 участников, принявших участие в соревновании разыгрываются: 1, 2 и 13 места.

Плюсом такой системы является то, что сильный участник, не настроившийся на матч или проигравший по какой-либо другой причине заведомо более слабому сопернику (что часто случается) имеет возможность продолжить играть в турнире и побороться за утешительный приз, который бывает достаточно достойным. По такой системе проводятся, например, Чемпионаты мира среди ветеранов.

КРУГОВАЯ СИСТЕМА предусматривает розыгрыш всех мест при проведении матчей между всеми участниками соревнования.

Места, занятые участниками, определяют по количеству на­бранных очков. За выигранный матч (личный или командный) начисляют одно очко, за проигранный – ноль. В случае неявки участника на матч или отказа от него ему засчитывается пораже­ние (без указания счёта). Если участник сыграл менее половины предусмотренных таблицей соревнования матчей, все его резуль­таты аннулируются (только для определения места в таблице, но не для учета в классификации).

В теннисе, как правило, в турнирную таблицу заносится результат матча только в поле победителя. Если в строке таблицы просматриваются результаты какого-либо участника и в соответствующем поле указано только «0 », то не сложно найти поле его соперника по этому матчу (по диагонали с учетом номера расстановки) и уточнить счет. В примере указан счет во всех полях.

Победителем считается участник, набравший наибольшее количество очков.

При равенстве очков у двух участников (в лич­ном или командном соревновании) преимущество получает по­бедитель матча между ними. При равенстве очков у трёх или более участников в личном соревновании преимущество получает участник по следующим последовательно применяемым принципам :

1. В матчах между ними:

б) по лучшей разности выигранных и проигранных сетов;

в) по лучшей разности выигранных и проигранных геймов.

2. Во всех матчах:

б) по лучшей разности выигранных и проигранных геймов;

в) по жребию.

В примере первые три участника набрали одинаковое количество очков – по 5. Количество набранных очков между ними, тоже оказалось одинаковым – по 1. При подсчёте выигранных и проигранных сетов показатели следующие: 1-й участник – 4 (выгр.)/3 (проигр.); 2-й участник – 4/3 ; 3-й участник – 5/2 . Лучшая разница по сетам у 3-го участника, он и является победителем. У 1-го и 2-го участника разница одинаковая. Распределение мест среди призёров, в данном случае, определяется исходя из их личной встречи.

При равенстве очков у трёх или более участников в команд­ном соревновании преимущество получает команда по следующим, последовательно применяемым показателям:

1. В командных встречах между ними:

а) по количеству набранных очков;

б) по лучшей разности выигранных и проигранных одиночных и парных матчей;

в) по лучшей разности выигранных и проигранных сетов;

г) по лучшей разности выигранных и проигранных геймов

2. Во всех командных встречах:

а) по лучшей разности выигранных и проигранных сетов;

б) по лучшей разности выигранных и проигранных геймов.

При отказе участника после первого круга возможны три варианта учёта (или не учёта) результатов, сыгранных им матчей:

• аннулирование результатов;
• присуждение технических побед в оставшихся матчах;
• если выбывший участник сыграл половину или более своих матчей, то в оставшихся матчах его соперникам присуждается техническая победа, в противном случае результаты его игр аннулируются.

В первом случае, участники оказываются в неравных условиях: победившие выбывшего игрока лишаются очков, тогда как проигравшие ему – ничего не теряют. Во втором – преимущество получат те, кто не успел с ним встретиться. Поэтому рекомендуется применять третий вариант.

Как будет приниматься решение в случае выбывания участника должно быть оговорено в Положении турнира.

Порядок матчей соперников друг с другом при круговой системе не имеет большого значения, но рекомендуется составлять расписание по нижеприведённому принципу (Тал.6).

Таблица 6

Для 8-ми участников
						5↔6

В основе лежит принцип вращения всех номеров против часовой стрелки вокруг первого номера. В каждом последующем туре цифры сдвигаются на один порядок. При чётном количестве игроков будет нечётное количество кругов, т.е. на единицу меньше общего количества участников. Если же количество участников нечётное, то счёт кругов ведётся из чётного количества, т.е. на единицу больше. В таком случае последний номер в таблице остаётся незанятым и игрок, которому выпадает матч в очередном круге с этим номером, свободен.

Количество игровых дней, необходимых для проведения со­ревнования по круговой системе (при условии, что каждый уча­стник проводит не более одного матча в день), на единицу мень­ше числа участников, если оно чётное, и равно числу участников, если оно нечётное.

Общее количество матчей (M К ) определяется по формуле: M К = N·(N – 1)/2 , где N – число участников соревнования.

Количество кругов (при наличии технической возможности одновременного проведения достаточного числа матчей) равно N–1 для чётного числа участников и N для нечётного (в последнем случае каждый участник пропускает один тур, в котором ему не находится соперника).

Достоинства данной системы в том, что достигается максимально возможная объективность турнира: т.к. каждый сыграют со всеми, итоговый результат определяется соотношением сил всех пар соперников.

Недостатком является большое количество матчей (максимальное среди всех систем) и, соответственно, значительное количество дней для проведения турнира. Количество встреч растёт с ростом числа участников квадратично. Практическим пределом для круговой системы в теннисе является 8 участников. Вследствие этого крупные турниры по круговой системе редки. Кроме того, ближе к концу турнира появляются матчи, которые частично или полностью не влияют на позиции тех или иных участников. И это может приводить к договорным матчам.

Возможна двух этапная круговая система. На предварительном этапе участники разбиваются на несколько подгрупп: 3, 4, 5 и т.д., как правило по 3–4 участника в подгруппе, а затем на основном (заключительном) этапе победители подгрупп образуют группу, в которой, также играют по круговой системе для выявления победителя и призеров. Если подгруппы две, в основной этап выходят по два участника с лучшими результатами с каждой подгруппы. В примере – 4-е подгруппы по 4-е участника в каждой, но в одной-трех подгруппах может быть и по 3 участника.

По такой системе возможен розыгрыш и последующих мест на основном этапе. Для этого составляются таблицы, объединяющие по отдельности 2-е, 3-е, 4-е и последующие места.

СМЕШАННЫЕ СИСТЕМЫ представляют собой различные комбинации круговой, олимпийской и усовершенствованной олимпийкой систем, каждая из которых может применяться на различных этапах соревнования. Наибольшее распространение получила смешанная система, предусматривающая на первом (предвари­тельном) этапе соревнования проведение матчей по круговой си­стеме в подгруппах, а на заключительном (финальном) – по олимпийской (плей-офф) или по усовершенствованной олимпийской системе. Число групп и число участников от каждой группы, участвующих в заключительной части соревнования, должно быть указано в Положении турнира. В примере приведена смешанная система, состоящая на предварительном этапе из 4-х групп по три-четыре участника в каждой, встречающихся по круговой системе, с последующим формированием олимпийской сетки из двух лучших участников с каждой группы.

Группы, на основании посева и жребия участников, составляются по, так называемой, схеме «Змейка» В Таблице 7 приведён пример для 4-х групп.

Таблица 7

Группа I	Группа II	Группа III	Группа IV
и т.д.

Число рядов соответствует числу формируемых групп, число строк – числу участников в каждой группе.

Если групп всего две, то на финальном этапе могут проводиться:

1. Стыковочные матчи между учас­тниками, занявшими одинаковые места в группах. Победители в подгруппах на первом этапе соревнования встречаются между со­бой за 1–2-е места, занявшие 2-е места в группах – за 3-4-е места и т. д.
2. Полуфиналы, в которых встречаются победитель из одной группы с игроком, занявшим 2-е место из другой группы. Победители полуфиналов встречаются в финале, а матч за 3-е место проводится между проигравшими полуфиналистами.

Групповой этап имеет свои очевидные минусы и плюсы. С одной стороны, он гарантирует участие игроков в нескольких матчах (например, при 4-х участниках – три матча). К тому же у всех участников имеется шанс выхода из группы в финальный этап, даже при поражении. С другой – сложность восприятия и необходимость подсчёта сетов, а иногда и геймов для определения победителя группы. Зачастую, и сами игроки не всегда понимают суть определения мест в группе. Например, на Итоговом турнире АТР в 2012 году Энди Маррей после выигранного у Жо-Уилфрида Тсонги первого сета в последнем матче (имел одну победу и одно поражение) обратился к арбитру с вопросом, проходит ли он в полуфинал. А в другой группе «В» группе Давид Феррер остался за бортом плей-офф, несмотря на две победы, как и у Роджера Федерера и Хуан-Мартин дель Потро, которые соответственно заняли 1-е и 2-е места.