Квадрат содержит 16 клеток. Разделите квадрат на две равные части так, чтобы линия разреза шла по сторонам клеток. (Способы разрезания квадрата на две части будем считать различными, если части квадрата, полученные при одном способе разрезания, не равны частям, полученным при другом способе.) Сколько всего решений имеет задача?
Прямоугольник 3Х4 содержит 12 клеток. Найдите пять способов разрезания прямоугольника на две равные части так, чтобы линия разреза шла по сторонам клеток (способы разрезания считаются различными, если части, полученные при одном способе разрезания, не равны частям, полученным при другом способе).
Прямоугольник 3Х5 содержит 15 клеточек и центральная клетка удалена. Найдите пять способов разрезания оставшейся фигуры на две равные части так, чтобы линия разреза шла по сторонам клеток.
Квадрат 6х6 разграфлен на 36 одинаковых квадратов. Найдите пять способов разрезания квадрата на две равные части так, чтобы линия разреза шла по сторонам квадратов. Примечание: задача имеет более 200 решений.
Разделите квадрат 4×4 на четыре равные части так, чтобы линия разреза шла по сторонам клеток. Сколько различных способов разрезания вы найдете?
Разделите фигуру (рис.5) на три равные части так, чтобы линия разреза шла по сторонам квадратов.

7. Разделите фигуру (рис.6) на четыре равные части так, чтобы линия разреза шла по сторонам квадратов.

8. Разделите фигуру (рис.7) на четыре равные части так, чтобы линии разрезов шли по сторонам квадратов. Найдите как можно больше решений.

9. Разделите квадрат 5×5 клеток с вырезанной центральной клеткой на четыре равные части.

10. Разрежьте фигуры, изображенные на рис.8, на две равные части по линиям сетки, причем в каждой из частей должен быть кружок.

11. Фигуры, изображенные на рис.9, надо разрезать по линиям сетки на четыре равные части так, чтобы в каждой части был кружок. Как это сделать?

12. Разрежьте фигуру, изображенную на рис.10, по линиям сетки на четыре равные части и сложите из них квадрат так, чтобы кружочки и звездочки расположились симметрично относительно всех осей симметрии квадрата.

13. Разрежьте данный квадрат (рис.11) по сторонам клеток так, чтобы все части были одинакового размера и формы и чтобы каждая содержала по одному кружку и звездочке.

14. Разрежьте квадрат 6×6 из клетчатой бумаги, изображенный на рис.12, на четыре одинаковые части так, чтобы каждая из них содержала три закрашенные клетки.

Кружок 7 класса

Руководитель Варвара Алексеевна Косоротова
2009/2010 учебный год

Занятие 8. Разрезания на клетчатом листе бумаги

При решении задач такого типа полезно применять следующие соображения:

Площадь. Если требуется разбить фигуру на несколько равных частей, стоит сначала найти площадь разрезаемой фигуры, а потом — каждой из частей. Сходным образом, если исходную фигуру нужно разбить на несколько фигур заданного вида, стоит предварительно посчитать, сколько их должно быть. Такие же соображения могут помочь и при решении других задач на разрезание. Для иллюстрации этой идеи автор этих строк добавил в список задачу 13, которой не было среди задач, предлагавшихся на занятии.
Симметрия. Свойствам симметрии следует уделять внимание, например, в случае, когда требуется разрезать одну фигуру на части и из них собрать другую фигуру.

К простым задачам приведены только ответы, к более сложным — еще и соображения, помогающие получить ответ. Разрежьте квадрат 5×5 с дыркой (см. рисунок) на две равные части двумя способами. Способы разрезания квадрата на две части будем считать различными, если части квадрата, полученные при одном способе разрезания, отличаются по форме или размеру от частей, полученных при другом способе (то есть их нельзя совместить наложением).
Разделите квадрат 4×4 на две равные части четырьмя различными способами так, чтобы линия разреза шла по сторонам клеток. Флаг - 1. Разрежьте флаг с 6 полосами на две части так, что бы из них можно было сложить флаг с 8 полосами.

Флаг - 2. Разрежьте флаг А на четыре части так, чтобы из них можно было сложить флаг Б.

Разрежьте фигуру на 4 равные части.

Из двух — один. Разрежьте квадрат с дыркой двумя прямыми на 4 части так, чтобы из них и еще одного обычного квадрата 5×5 можно было сложить новый квадрат.

11*. Зубчатый квадрат. Превратите зубчатый квадрат в обыкновенный, разрезав его на 5 частей.

12*. Мальтийский крест - 2. Разрежьте «мальтийский крест» (см. задачу 8) на 5 частей так, чтобы из них можно было сложить квадрат. 13**. Незнайка разрезал изображенную на рисунке фигуру на трехклеточные и четырехклеточные уголки (такие, как на рисунке). Сколько каких уголков могло получиться у Незнайки? Рассмотрите все возможные случаи!

Решение. Площадь исходной фигуры равна 22 (за единицу площади принимаем одну клетку). Пусть при разрезании использовано n четырехклеточных и k трехклеточных уголков. Тогда выразим площадь большой фигуры как сумму площадей уголков: 22=3 k + 4 n . Перепишем это равенство в таком виде: 22 − 4 n =3 k . В левой части этого равенства стоит четное число, которое, однако, не делится на 4. Значит, 3 k — тоже четное число, не делящееся на 4, а следовательно, таковым является и само число k . Кроме того, в правой части равенства стоит число, кратное 3, поэтому 22 − 4 n тоже кратно 3. Таким образом, 22 − 4 n кратно 6. Перебирая значения n от 0 до 5 (при n ≥6 22 − 4 n <0<3 k , чего быть не может), получаем, что такое возможно лишь при n =1 и при n =4. В каждом из этих случаев несложно найти k . При n =1 имеем k =6, а при n =4 имеем k =2.
Заметим, что мы пока не доказали, что оба эти случая реализуются. Ведь равенство площадей есть лишь необходимое условие для существования способа разрезания, но никак не достаточное (например, прямоугольник размера 1×6, очевидно, нельзя разрезать на два трехклеточных уголка, хотя 3·2=6). Для завершения доказательства следует привести примеры разрезаний каждого типа. Это можно сделать многими разными способами. На рисунке приведен лишь один из них, а вы попробуйте придумать что-нибудь свое. Кстати, интересно было бы ответить на такой вопрос: а сколько всего разрезаний каждого типа существует? (Автор этих строк, к примеру, ответа на этот вопрос пока не знает).

В заключение еще раз подчеркнем, что полное решение этой задачи включает в себя два шага: нахождение возможных случаев и проверка того, что все они реализуются. Каждый из этих шагов по отдельности не является решением задачи!

Все их сюжеты можно условно поделить на следующие виды и подвиды: на заданное число конгруэнтных и подобных ей фигур (такие фигуры получили название «делящихся»); определённым количеством прямых на максимально возможное число частей, не обязательно равных. Трансформирование – требуется разрезать одну фигуру так, чтобы их её частей можно было сложить вторую заданную фигуру

Задача 1. Квадрат содержит 16 клеток. Разделите квадрат на две равные части так, чтобы линия разреза шла по сторонам клеток. (Способы разрезания квадрата на две части будем считать различными, если части квадрата, полученные при одном способе разрезания, не равны частям, полученным при другом способе.) Сколько всего решений имеет задача?

При построении ломаной, чтобы не потерять какое-либо решение, можно придерживаться такого правила. Если следующее звено ломаной можно нарисовать двумя способами, то сначала нужно заготовить второй такой же рисунок и выполнить этот шаг на одном рисунке первым, а на другом вторым способом (на рис. 3 показаны два продолжения рис. 2 (а)). Аналогично нужно поступать, когда способов не два, а три (на рис. 4 показаны три продолжения рис. 2 (б)). Указанный порядок действий помогает найти все решения.

Задача 2 Прямоугольник 4 × 9 клеток разрежьте по сторонам клеток на две равные части так, чтобы из них затем можно было сложить квадрат.

Решение. Посмотрим, сколько клеток будет содержать квадрат. 4 · 9=36 - значит, сторона квадрата - 6 клеток, так как 36=6 · 6. Как разрезать прямоугольник - показано на рис. 95 (б). Это способ разрезания называют ступенчатым. Как из полученных частей составить квадрат - показано на рис. 95 (в).

Задача 3. Можно ли квадрат 5× 5 клеток разрезать на две равные части так, чтобы линия разреза шла по сторонам клеток? Ответ обоснуйте.

Решение. Нельзя, так квадрат состоит из 25 клеток. Его нужно разрезать на две равные части. Поэтому в каждой части должно быть по 12, 5 клеток, а значит, линия разреза будет проходить не по сторонам клеток.

Пентамино 12 фигур, каждая из которых состоит из пяти одинаковых квадратов, причем квадраты «соседствуют « друг с другом только сторонами. «ПЕНТА» - «ПЯТЬ» (с греческого)

Пентамино Игра, заключающая в складывании различных фигур из заданного набора Придумана американским математиком С. Голомбом в 50 – ые годы XX века

№ 1. Выложите плитками 2*1 пол в комнате размером 5*6 (сплошной паркет). Пусть у нас имеется неограниченный запас прямоугольных плиток размером 2*1, и мы хотим выложить ими пол прямоугольной формы, причем никакие две плитки не должны перекрываться.

В этом случае одно из чисел p или q должно быть четно. Если, например, p=2 r, то пол можно выложить так, как показано на рисунке. Но в таких паркетах есть линии разрыва, которые пересекают всю «комнату» от стены до стены, но не пересекают плитки. А на практике используются паркеты без таких линий – сплошные паркеты.

Естественно возникает вопрос, при каких p и q прямоугольник p*q допускает сплошное разбиение на плитки 2*1?

№ 3. На листе клетчатой бумаги размерами 10*10 клеток наметьте разрезы, с помощью которых можно получить как можно больше целых фигур, изображенных на рисунке. Фигуры, изображенные на рисунке, можно переворачивать.

Ответ: В данном случае умещается 24 целых фигуры. Других способов, при которых получается больше целых фигурок, пока не найдено.

Доску размером 8× 8 разрезали на четыре части и сложили из них прямоугольник размером 5× 13. Откуда появилась лишняя клетка? 8 8 13 5 64 квадратика 65 квадратиков

Доску размером 8× 8 разрезали на четыре части и сложили из них прямоугольник размером 5× 13. Откуда появилась лишняя клетка? 8 8

Доску размером 8× 8 разрезали на четыре части и сложили из них прямоугольник размером 5× 13. Откуда появилась лишняя клетка? 2 1 3 4

Доску размером 8× 8 разрезали на четыре части и сложили из них прямоугольник размером 5× 13. Откуда появилась лишняя клетка? 1 2 3 4

Ответ: Диагональная линия левого рисунка не прямая; на точном рисунке виден параллелограмм площади 1, как и следовало ожидать.

Последовательность Фибоначчи j 1 = 1, j 2 = 1, j 3 = 2, j 4 = 3, j 5 = 5, j 6 = 8, j 7 = 13, j 8 = 21, j 9 = 34, j 10 = 55, j 11 = 89, . . . обладает следующим свойством: квадрат числа Фибоначчи на 1 отличается от произведения предшествующего ему и следующего за ним чисел Фибоначчи; точнее говоря, jn 2 + (– 1)n = jn – 1 jn + 1.

Например, при n = 6 формула превращается в равенство 82 + 1 = 5 · 13, а при n = 7 - в равенство 132 – 1 = 8 · 21. Советую нарисовать картинки, аналогичные рисунку к условию задачи, для нескольких других значений n.

Задачи на разрезание - это та область математики, где, как говорится, мамонт не валялся. Множество отдельных проблем, но по сути нет общей теории. Помимо всем известной теоремы Бойяи-Гервина , других фундаментальных результатов в этой области практически нет. Неопределённость - вечный спутник задач на разрезание. Мы можем, например, разрезать правильный пятиугольник на шесть частей, из которых можно сложить квадрат; однако мы не можем доказать, что пяти частей для этого было бы недостаточно.

С помощью хитрой эвристики, воображения и поллитры нам порой удаётся найти конкретное решение, но, как правило, мы не обладаем подходящим инструментарием, чтобы доказать минимальность этого решения или же его несуществование (последнее, разумеется, относится к случаю, когда мы решение не нашли). Это печально и несправедливо. И как-то раз я взял чистую тетрадку и решил восстановить справедливость в масштабах одной конкретной задачи: разрезания плоской фигуры на две равных (конгруэнтных) части. В рамках этого цикла статей (их, кстати, будет три) мы с вами, камрады, рассмотрим вот этот забавный многоугольник, изображённый ниже, и попытаемся беспристрастно разобраться, можно ли разрезать его на две равных фигуры, или же таки нет.

Введение

Для начала освежим школьный курс геометрии и вспомним, что такое равные фигуры. Яндекс услужливо подсказывает:

Две фигуры на плоскости называются равными, если существует движение, взаимно однозначно переводящее одну фигуру в другую.

Теперь расспросим Википедию про движения. Она расскажет нам, во-первых, что движение - это преобразование плоскости, которое сохраняет расстояния между точками. Во-вторых, там даже приведена классификация движений на плоскости. Все они относятся к одному из следующих трёх типов:

Скользящая симметрия (сюда я удобства ради и пользы для включаю зеркальная симметрию , как вырожденный случай, где параллельный перенос производится на нулевой вектор)

Введём некоторые обозначения. Разрезаемую фигуру мы будем называть фигурой A, а две гипотетеческих равных фигуры, на которые мы будто бы можем её разрезать, обзовём B и C соответственно. Часть плоскости, не занятую фигурой A, мы назовём областью D. В тех случаях, когда в качестве разрезаемой фигуры рассматривается конкретный многоугольник с картинки, мы будем называть его A 0 .

Так вот, если фигуру A можно разрезать на две равных части B и C, то существует движение, переводящее B в C. Это движение может быть либо параллельным переносом, либо поворотом, либо скользящей симметрией (начиная с этого момента, я больше не оговариваю, что зеркальная симметрия также считается скользящей). На этом нехитром и, я бы даже сказал, очевидном, базисе и будет строиться наше решение. В этой части мы рассмотрим самый простой случай - параллельный перенос. Поворот и скользящая симметрия попадут во вторую и третью часть соответственно.

Случай 1: параллельный перенос

Параллельный перенос задаётся единственным параметром - вектором, на который происходит сдвиг. Введём ещё несколько терминов. Прямую, параллельную вектору сдвига и содержащую хотя бы одну точку фигуры A, будем называть секущей . Пересечение секущей прямой и фигуры A будем называть сечением . Секущую, относительно которой фигура A (за вычетом сечения) целиком лежит в одной полуплоскости, будем называть границей .

Лемма 1. Сечение границей должно содержать более одной точки.

Доказательство: очевидно. Ну или более развёрнуто: докажем от противного. Если эта точка принадлежит фигуре B, то её образ (т.е. точка, в которую она перейдёт при параллельном переносе) принадлежит фигуре C => образ принадлежит фигуре A => образ принадлежит сечению. Противоречие. Если эта точка принадлежит фигуре C, то её прообраз (точка, которая при параллельном переносе перейдёт в неё) принадлежит фигуре B, и далее аналогично. Получается, в сечении должно быть хотя бы две точки.

Руководствуясь этой нехитрой леммой, нетрудно понять, что искомый параллельный перенос может происходить лишь вдоль вертикальной оси (в текущей ориентации картинки) Если бы он был в любом другом направлении, хотя бы одно из граничных сечений состояло бы из единственной точки. Это можно понять, мысленно повращав вектор сдвига и посмотрев, что при этом происходит с границами. Чтобы исключить случай вертикального параллельного переноса, нам понадобится более хитрый инструмент.

Лемма 2. Прообраз точки, находящейся на границе фигуры C, находится либо на границе фигур B и C, либо на границе фигуры B и области D.

Доказательство: неочевидно, но сейчас мы это исправим. Напомню, граничной точкой фигуры называется такая точка, что сколь угодно близко от неё найдутся как точки, принадлежащие фигуре, так и точки, не принадлежащие ей. Соответственно, вблизи граничной точки (назовём её O") фигуры C найдутся как точки фигуры C, так и другие точки, принадлежащие либо фигуре B, либо области D. Прообразами точек фигуры C могут быть только точки фигуры B. Следовательно, сколь угодно близко к прообразу точки O" (будет логично назвать его точкой O) найдутся точки фигуры B. Прообразами точек фигуры B могут быть любые точки, не принадлежащие B (то есть либо точки фигуры С, либо точки области D). Аналогично для точек области D. Следовательно, сколь угодно близко к точке O найдутся либо точки фигуры C (и тогда точка O будет на границе B и C), либо точки области D (и тогда прообраз на границе B и D). Если вы сумеете продраться через все эти буквы, то согласитесь, что лемма доказана.

Теорема 1. Если сечение фигуры A представляет собой отрезок, то его длина кратна длине вектора сдвига.

Доказательство: рассмотрим «дальний» конец этого отрезка (т.е. тот конец, прообраз которого также принадлежит отрезку). Этот конец, очевидно, принадлежит фигуре C и является её граничной точкой. Следовательно, его прообраз (кстати говоря, также лежащий на отрезке и отстоящий от образа на длину вектора сдвига) будет либо на границе B и C, либо на границе B и D. Если он на границе B и C, то возьмём также и его прообраз. Будем повторять эту операцию, пока очередной прообраз не перестанет быть на границе C и не окажется на границе D - а это произойдёт как раз на другом конце сечения. В результате мы получим цепочку прообразов, которые разбивают сечение на некоторое количество маленьких отрезочков, длина каждого из которых равняется длине вектора сдвига. Следовательно, длина сечения кратна длине вектора сдвига, ч.т.д.

Следствие из теоремы 1. Любые два сечения, являющиеся отрезками, должны быть соизмеримы.

Используя это следствие, нетрудно показать, что вертикальный параллельный перенос тоже отпадает.

Действительно, сечение раз имеет длину три клетки, а сечение два - три минус корень из двух пополам. Очевидно, эти величины несоизмеримы.

Вывод

Если фигуру A 0 и можно разрезать на две равные фигуры B и C, то B не переводится в C параллельным переносом. Продолжение следует. 29 апреля 2013 в 16:34

Разрезание на две равные части, часть первая

Математика