Из курса алгебры школьной программы переходим к конкретике. В этой статье мы подробно изучим особый вид рациональных выражений – рациональные дроби , а также разберем, какие характерные тождественные преобразования рациональных дробей имеют место.

Сразу отметим, что рациональные дроби в том смысле, в котором мы их определим ниже, в некоторых учебниках алгебры называют алгебраическими дробями. То есть, в этой статье мы под рациональными и алгебраическими дробями будем понимать одно и то же.

По обыкновению начнем с определения и примеров. Дальше поговорим про приведение рациональной дроби к новому знаменателю и о перемене знаков у членов дроби. После этого разберем, как выполняется сокращение дробей. Наконец, остановимся на представлении рациональной дроби в виде суммы нескольких дробей. Всю информацию будем снабжать примерами с подробными описаниями решений.

Навигация по странице.

Определение и примеры рациональных дробей

Рациональные дроби изучаются на уроках алгебры в 8 классе. Мы будем использовать определение рациональной дроби, которое дается в учебнике алгебры для 8 классов Ю. Н. Макарычева и др.

В данном определении не уточняется, должны ли многочлены в числителе и знаменателе рациональной дроби быть многочленами стандартного вида или нет. Поэтому, будем считать, что в записях рациональных дробей могут содержаться как многочлены стандартного вида, так и не стандартного.

Приведем несколько примеров рациональных дробей . Так , x/8 и - рациональные дроби. А дроби и не подходят под озвученное определение рациональной дроби, так как в первой из них в числителе стоит не многочлен, а во второй и в числителе и в знаменателе находятся выражения, не являющиеся многочленами.

Преобразование числителя и знаменателя рациональной дроби

Числитель и знаменатель любой дроби представляют собой самодостаточные математические выражения, в случае рациональных дробей – это многочлены, в частном случае – одночлены и числа. Поэтому, с числителем и знаменателем рациональной дроби, как и с любым выражением, можно проводить тождественные преобразования. Иными словами, выражение в числителе рациональной дроби можно заменять тождественно равным ему выражением, как и знаменатель.

В числителе и знаменателе рациональной дроби можно выполнять тождественные преобразования . Например, в числителе можно провести группировку и приведение подобных слагаемых, а в знаменателе – произведение нескольких чисел заменить его значением. А так как числитель и знаменатель рациональной дроби есть многочлены, то с ними можно выполнять и характерные для многочленов преобразования, например, приведение к стандартному виду или представление в виде произведения.

Для наглядности рассмотрим решения нескольких примеров.

Пример.

Преобразуйте рациональную дробь так, чтобы в числителе оказался многочлен стандартного вида, а в знаменателе – произведение многочленов.

Решение.

Приведение рациональных дробей к новому знаменателю в основном применяется при сложении и вычитании рациональных дробей .

Изменение знаков перед дробью, а также в ее числителе и знаменателе

Основное свойство дроби можно использовать для смены знаков у членов дроби. Действительно, умножение числителя и знаменателя рациональной дроби на -1 равносильно смене их знаков, а в результате получится дробь, тождественно равная данной. К такому преобразованию приходится достаточно часто обращаться при работе с рациональными дробями.

Таким образом, если одновременно изменить знаки у числителя и знаменателя дроби, то получится дробь, равная исходной. Этому утверждению отвечает равенство .

Приведем пример. Рациональную дробь можно заменить тождественно равной ей дробью с измененными знаками числителя и знаменателя вида .

С дробями можно провести еще одно тождественное преобразование, при котором меняется знак либо в числителе, либо в знаменателе. Озвучим соответствующее правило. Если заменить знак дроби вместе со знаком числителя или знаменателя, то получится дробь, тождественно равная исходной. Записанному утверждению соответствуют равенства и .

Доказать эти равенства не составляет труда. В основе доказательства лежат свойства умножения чисел. Докажем первое из них: . С помощью аналогичных преобразований доказывается и равенство .

Например, дробь можно заменить выражением или .

В заключение этого пункта приведем еще два полезных равенства и . То есть, если изменить знак только у числителя или только у знаменателя, то дробь изменит свой знак. Например, и .

Рассмотренные преобразования, позволяющие изменять знак у членов дроби, часто применяются при преобразовании дробно рациональных выражений.

Сокращение рациональных дробей

В основе следующего преобразования рациональных дробей, имеющего название сокращение рациональных дробей, лежит все тоже основное свойство дроби. Этому преобразованию соответствует равенство , где a , b и c – некоторые многочлены, причем b и c - ненулевые.

Из приведенного равенства становится понятно, что сокращение рациональной дроби подразумевает избавление от общего множителя в ее числителе и знаменателе.

Пример.

Сократите рациональную дробь .

Решение.

Сразу виден общий множитель 2 , выполним сокращение на него (при записи общие множители, на которые сокращают, удобно зачеркивать). Имеем . Так как x 2 =x·x и y 7 =y 3 ·y 4 (при необходимости смотрите ), то понятно, что x является общим множителем числителя и знаменателя полученной дроби, как и y 3 . Проведем сокращение на эти множители: . На этом сокращение завершено.

Выше мы выполняли сокращение рациональной дроби последовательно. А можно было выполнить сокращение в один шаг, сразу сократив дробь на 2·x·y 3 . В этом случае решение выглядело бы так: .

Ответ:

.

При сокращении рациональных дробей основная проблема заключается в том, что общий множитель числителя и знаменателя далеко не всегда виден. Более того, он не всегда существует. Для того, чтобы найти общий множитель или убедиться в его отсутствии нужно числитель и знаменатель рациональной дроби разложить на множители. Если общего множителя нет, то исходная рациональная дробь не нуждается в сокращении, в противном случае – проводится сокращение.

В процессе сокращения рациональных дробей могут возникать различные нюансы. Основные тонкости на примерах и в деталях разобраны в статье сокращение алгебраических дробей .

Завершая разговор о сокращении рациональных дробей, отметим, что это преобразование является тождественным, а основная сложность в его проведении заключается в разложении на множители многочленов в числителе и знаменателе.

Представление рациональной дроби в виде суммы дробей

Достаточно специфическим, но в некоторых случаях очень полезным, оказывается преобразование рациональной дроби, заключающееся в ее представлении в виде суммы нескольких дробей, либо сумме целого выражения и дроби.

Рациональную дробь, в числителе которой находится многочлен, представляющий собой сумму нескольких одночленов, всегда можно записать как сумму дробей с одинаковыми знаменателями, в числителях которых находятся соответствующие одночлены. Например, . Такое представление объясняется правилом сложения и вычитания алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями .

Вообще, любую рациональную дробь можно представить в виде суммы дробей множеством различных способов. Например, дробь a/b можно представить как сумму двух дробей – произвольной дроби c/d и дроби, равной разности дробей a/b и c/d . Это утверждение справедливо, так как имеет место равенство . К примеру, рациональную дробь можно представить в виде суммы дробей различными способами: Представим исходную дробь в виде суммы целого выражения и дроби. Выполнив деление числителя на знаменатель столбиком, мы получим равенство . Значение выражение n 3 +4 при любом целом n является целым числом. А значение дроби является целым числом тогда и только тогда, когда ее знаменатель равен 1 , −1 , 3 или −3 . Этим значениям отвечают значения n=3 , n=1 , n=5 и n=−1 соответственно.

Ответ:

−1 , 1 , 3 , 5 .

Список литературы.

• Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордкович А. Г. Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 13-е изд., испр. - М.: Мнемозина, 2009. - 160 с.: ил. ISBN 978-5-346-01198-9.
• Мордкович А. Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 11-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.

Алгебра 7 Б класс

Тема урока: "Рациональная дробь. Основное свойство рациональной дроби"

Дата проведения:

Цели урока:

1. Образовательная:

Ввести понятие рациональной дроби и его основного свойства;

Отработать навыки сокращения дробей и приведения их к общему знаменателю;

Закрепить эти понятия в ходе решений заданий.

2. Развивающая:

Развивать сообразительность, смекалку учащихся, развивать культуру их речи; развивать познавательную активность учащихся и логическое мышление;

3. Воспитательные:

Воспитывать целеустремленность, ответственность, организованность, формировать интерес к изучению математики.

План урока.

1. Организационный момент.

2. Проверка домашнего задания.

3. Актуализация знаний(посредством повторения предыдущего материала).

4. Объяснение темы.

5. Закрепление посредством решения заданий.

6. Домашнее задание.

7. Подведение итогов.

Ход урока

1. Организационный момент.

2. Проверка домашнего задания № 484.

При каких значениях х следующие дроби не имеют смысла:

1) ОДЗ: х≠2

2) ОДЗ: х≠-1

3) ОДЗ: х≠3

4) ОДЗ: х≠2

5) ОДЗ: х≠1

6) ОДЗ: х≠3

7) ОДЗ: х≠а

8) ОДЗ: х≠-b

9) ОДЗ: х≠1,-1

10)ОДЗ:х≠-1.2

3. Повторение предыдущего материала на закрепление

1. Чем отличается числовое выражение от буквенного?

2. Какие выражения мы называем целыми?

3. Какие выражения мы называем дробными?

4. Рациональные выражения это какие выражения?

5. Какие выражения имеют смысл при любых значениях?

6. Какие выражения при некоторых значениях переменных не имеют смысла?

7. Что называется допустимым значением переменных?

8. Какие дроби бывают?

Работа с дидактическим материалом. У доски ученик работает. Какие из этих выражений являются дробными, а какие целыми?

a 2 ; (x-y) 2 - 4xy; ; ; ;(c+3) 2 + ; 7x 2 -2xy; ; ; ; a(a-b);

Целые Дробные

a 2 , (x-y) 2 - 4xy, , ,

, (c+3) 2 + , , a(a-b),

Заполнить таблицу

Найти значение дроби, при х равным ниже указанно в таблице

4.Объяснение

Выражение вида называют рациональной дробью , где a, b - рациональные выражения, причем b обязательно содержит переменные.

Например: ,

Свойства рациональных дробей и операции с ними очень похожи на свойства числовых дробей и действия с ними. Напомним известное вам основное свойство обыкновенной дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же натуральное число, то получится равная дробь, т. е. равенство верно при любых натуральных значениях a, b и с.

Это равенство справедливо не только при натуральных, но и при любых других значениях переменных а, b и с, при которых знаменатель не равен нулю, т. е. при b ≠ 0 и

с ≠ 0. Докажем это утверждение.

Пусть дробь = m. Тогда по определению частного имеем а = bm. Умножим обе части этого равенства на число с и получим ас = (bm) · с. На основании переместительного и сочетательного свойств умножения запишем ас = (bс) · m. Так как b ≠ 0 и с ≠ 0 (т. е. bс ≠ 0), то выразим из этого равенства величину Кроме этого равенства, есть равенство m = . Приравняем правые части этих выражений и получим требуемое равенство .

Равенство верно при всех значениях переменных, при которых его левая и правая части имеют смысл, т. е. при всех допустимых значениях переменных. Такие равенства также называют тождествами. Два выражения, принимающие равные значения при всех допустимых для них значениях переменных, называют тождественно равными. Замену одного такого выражения другим называют тождественным преобразованием выражения.

Было доказано, что равенство верно при всех допустимых значениях переменных. Поэтому по определению это равенство является тождеством. Такое тождество называют основным свойством дроби.

Тождество позволяет заменить дробь на тождественное ему выражение , т.е. на основании этой формулы мы можем сократить дробь на множитель с.

Пример: = =

Основное свойство дроби используют для ее приведения к заданному знаменателю.

Пример 1. Приведем дробь к знаменателю 27b 5 (т. е. запишем данную дробь в виде дроби со знаменателем 27b 5).

В заданном (новом) знаменателе 27b 5 выделим в качестве множителя старый знаменатель 3b 3 , т. е. запишем равенство 27b 5 = 3b 3 · 9b 2 . Поэтому, чтобы получить дробь с новым знаменателем 27b 5 , по основному свойству дроби умножим числитель и знаменатель данной дроби на множитель 9b 2 . Тогда получим: При этом множитель 9b 2 называют дополнительным множителем к числителю и знаменателю данной дроби .

Рассмотрим еще одно свойство дроби.

Если изменить знак числителя (или знаменателя) дроби, то изменится знак и самой дроби:

5. Решение упражнений на закрепление: №

6. Домашнее задание:

7. Подведение итогов.

- Что называется рациональной дробью?

- Что называется тождеством?

- Назовите основное свойство дроби.

- Что называется тождественным преобразованием выражения?

Запиши в тетрадь тему урока

"Рациональные дроби".

Что это такое?
Это алгебраические выражения, которые содержат деление на выражение с переменными.

Например:
- дробное выражение.

Целое, потому, что оно равно , т. е. целому выражению с рациональными коэффициентами.

Целые и дробные выражения называются рациональными выражениями.

Вот с ними нам и предстоит работать в дальнейшем!

Целое выражение имеет смысл при любых значениях переменных, а вот дробное... делить-то на 0 нельзя!

Например:
определено при всех значениях переменной а и при всех значениях b, кроме b=3.

При каких значениях переменной выражение
?

Запомни:
Для любых значений а, b и с, где и , верно равенство

Если мы домножим дробь на число (т. е. умножим числитель и знаменатель дроби на одно и тоже число), то получаем равную дробь, но уже с другим знаменателем.

Если делим числитель и знаменатель на одно и тоже число, то сокращаем дробь.
Например:
1) Приведем дробь к дроби со знаменателем 35у3 .
Сначала поделим новый знаменатель 35у3 на старый 7у и получим дополнительный множитель 5у2 .
А потом умножим числитель и знаменатель на этот дополнительный множитель:
.

2) Cократим дробь .
Решение:

Запомни:
Чтобы сократить дробь надо числитель и знаменатель разложить на множители и затем поделить их на равный множитель, т.е. сократить.

Для разложения выражения на множители существует несколько методов.
Нам с тобой пока знакомы два из них:
1 метод
Вынесение за скобку общего множителя.
2 метод
Применение формул сокращенного умножения.

Первый и самый простой способ разложения на множители -
вынесение общего множителя за скобку.

Ac + bc = (a + b)c

Пример 1: 5ab2c3 - 10a2b3c + 15a3bc2 = 5abc(bc2 - 2ab2 + 3a2c)

Правило:

Если все члены многочлена имеют общий множитель (или несколько общих множителей), то этот множитель (эти множители) можно вынести за скобку,
при этом каждое слагаемое делим на выражение, которое выносим за скобку: 5ab2c3: 5abc = bc2 , - 10a2b3c: 5abc = - 2ab2 и, наконец, 15a3bc2: 5abc = 3a2c (следите за знаками!!!)

И надо помнить - за скобку выносится степень с меньшим показателем.

Самостоятельно:
Вынесите общий множитель за скобку

Проверь:

Иногда все члены алгебраического выражения не имею общего множителя, но в отдельных группах слагаемых он есть, например,

ах + ay + bx + by.

Этот многочлен можно разложить на множители, соединяя его члены в отдельные группы

(ax + bx) + (ay + by) = x(a + b) + y(a + b) = (x + y)(a + b).

Пример:

Применяя метод группировки слагаемых разложите выражение на множители
3x + xy2 - x2y - 3y

Решение:
3x + xy2 - x2y - 3y = 3(x - y) + xy(y -x) = 3(x - y) - xy(x -y) = (3 - xy)(x - y).

Потренируемся еще:
1) a3 - ab - a2b + a2 ,
2) ab2 - b2y - ax + xy + b2 - x .

Решение:
1) a3 - ab - a2b + a2 = a3 - a2b - ab + a2 = a2(a - b) + a(a - b)= (a2+ a)(a - b) = a(a +1)(a - b),
2) ab2 - b2y - ax + xy + b2 - x = b2(a - y + 1) - x(a - y + 1) = (b2 - x)(a - y + 1).

А теперь о 2-м методе.
Если слагаемые алгебраического выражения не имеют повторяющихся множителей, то можно попытаться применить формулы сокращенного умножения...

Примеры
а) Разность квадратов:
0,49х4 - 121y2 = (0,7x2)2 - (11y)2 = (0,7x2 - 11y)(0,7x2 + 11y),

Б) Разность кубов:
1 - 27с3 = 13 - (3с)3 = (1 - 3с)(1 + 3с + 9с2),

В) Квадрат разности:
4a2 - 12ab + 9b2 = (2a)2 - 22a 3b + (3b)2 = (2a - 3b)2 или (2a - 3b)(2a - 3b),

Г) Куб разности:
27x6 - 27x4y + 9x2y2 - y3 = (3x2)3 - 3(3x2)2y + 3(3x2)y2 - y3 = (3x2 - y)3 или (3x2 - y)(3x2 - y)(3x2 - y) т.е. три равных множителя!

Алгоритм:
- сначала "подгоняем внешний вид выражения" под возможную для применения формулу...
- если получилось - действуем далее как она (формула) того требует...
- если не получилось, то начинаем "примерять" другую формулу...
- и так пока не получится разложить выражение на произведение множителей!

Она имеет вид

где P(x) и Q(x) некоторые многочлены.

Различают правильные и неправильные рациональные дроби, по аналогии с обычными числовыми дробями. Рациональная дробь называется правильной, если порядок знаменателя больше порядка числителя, и неправильной, если наоборот.

Любую неправильную рациональную дробь можно преобразовать в сумму некоторого многочлена и правильной рациональной дроби

Любую рациональную дробь многочленов с вещественными коэффициентами можно представить как сумму рациональных дробей, знаменателями которых являются выражения (x − a ) k (a - вещественный корень Q(x)) либо (x 2 + p x + q ) k (где x 2 + p x + q не имеет действительных корней), причём степени k не больше кратности соответствующих корней в многочлене Q(x). На основании этого утверждения основана теорема об интегрируемости рациональной дроби. Согласно ей, любая рациональная дробь может быть интегрирована в элементарных функциях, что делает класс рациональных дробей весьма важным в математическом анализе.

См. также

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Рациональная дробь" в других словарях:

Рациональная функция это дробь, числителем и знаменателем которой являются многочлены. Она имеет вид где, многочлены от любого числа переменных. Частным случаем являются рациональные функции одного переменного: , где… … Википедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Дробь. 8 / 13 числитель числитель знаменатель знаменатель Две записи одной дроби Дробь в математике число, состоящее из одной или нескольких частей… … Википедия

В Викисловаре есть статья «дробь» Наименование символа «⁄» (другое, распространённое по большей части в английском языке, название символа солидус (англ.), или слэш), например, в номерах домов. Так номер дома «5/17» читается «пять… … Википедия

1) Р. ф. функция w=R(z), где R(z) рациональное выражение от z, т. е. выражение, полученное из независимого переменного z и нек рого конечного набора чисел (действительных или комплексных) посредством конечного числа арифметич. действий. Р. ф.… … Математическая энциклопедия

Четверти Рациональное число (лат. ratio отношение, деление, дробь) число, представляемое обыкновенной дробью, где m целое число, а n натуральное число. При этом число m называется числителем, а число n знаменателем дроби. Таку … Википедия

Четверти Рациональное число (лат. ratio отношение, деление, дробь) число, представляемое обыкновенной дробью, где m целое число, а n натуральное число. При этом число m называется числителем, а число n знаменателем дроби. Таку … Википедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Дробь. Наипростейшей дробью ой степени называется рациональная функция вида где принимает натуральные значения, а точки, являющиеся полюсами функции, не обязательно геометрически различны.… … Википедия

Число, выражаемое рациональной дробью. Формальная теория Р. ч. строится с помощью пар целых чисел. Р а ц и о н а л ь н о й д р о б ь ю наз. упорядоченная пара (а, b)целых чисел а и b, у к рой b№0. Две рациональные дроби и наз. э к в и в а л е н … Математическая энциклопедия

Четверти Рациональное число (лат. ratio отношение, деление, дробь) число, представляемое обыкновенной дробью, где m целое число, а n натуральное число. При этом число m называется числителем, а число n знаменателем дроби. Таку … Википедия