Векторы сложение и вычитание векторов примеры. Векторы на ЕГЭ по математике

Никто не будет спорить, что к месту назначения невозможно добраться не зная направления движения. В физике это понятие называется вектором . До этого момента мы с вами оперировали некоторыми числами и значениями, которые называются величинами. Вектор отличается от величины наличием направления.

При работе с вектором оперируют его направлением и величиной . Физический параметр без учета направления называют скаляром .

Визуально вектор отображают в виде стрелки. Длина стрелки - величина вектора.

В физике для обозначения векторов используют заглавную букву со стрелкой наверху.

Векторы можно сравнивать. Два вектора будут равны, если они имеют одинаковую величину и направление.

Вектора можно складывать. Результирующий вектор является суммой обоих векторов и определяет расстояние и направление. Например, вы проживаете в Киеве и решили проведать старых друзей в Москве, а оттуда сделать визит к любимой теще во Львов. Насколько далеко вы будете находиться от родного дома, гостюя у мамы жены?

Для ответа на этот вопрос вам надо начертить вектор от исходной точки путешествия (Киев) и до конечной (Львов). Новый вектор определяют результат всего путешествия от начала и до конца.

Вектор А - Киев-Москва
Вектор В - Москва-Львов
Вектор С - Киев-Львов

С = А+В , где С - сумма векторов или результирующий вектор

Вектора можно не только складывать, но и вычитать! Для этого надо совместить основания вычитаемого и вычитающего векторов и соединить их концы со стрелками:

Вектор А = С-В
Вектор В = С-А

Наложим на наши вектора координатную сетку. Для вектора А можно сказать, что он направлен на 5 клеток вверх (положительное значение оси Y) и на 3 клетки влево (отрицательное значение оси Х): X=-3; Y=5.

Для вектора В: направление на 4 клетки влево и 7 клеток вниз: X=-4; Y=-7.

Т.о., для сложения векторов по осям X и Y надо сложить их координаты. Чтобы получить координаты результирующего вектора по осям X и Y:

Рассмотрим задачу: шар движется со скоростью 10м/с по наклонной плоскости с длиной основания X=1м, распложенной под 30° к горизонту. Требуется определить время, за которое шар переместится от начала к концу плоскости.

В данной задаче скорость является вектором V с величиной 10м/с и направлением α=30° к горизонтали. Чтобы определить скорость перемещения шара вдоль основания наклонной плоскости, нам надо определить X-составляющую перемещения шара, которая является скаляром (имеет только значение, но не направление) и обозначается V x . Аналогично, Y-составляющая скорости также скаляр и обозначается V y . Вектор скорости через составляющие: V = (V x ;V y)

Определим составляющие (V x ;V y). Вспоминаем тригонометрию:

V x = V·cosα
V y = V·sinα

Х-составляющая скорости шара:

V x = V·cosα = V·cos30° = 10,0·0,866 = 8,66 м/с

Горизонтальная скорость шара равна 8,66 м/с.

Т.к. длина основания наклонной плоскости равна 1м, то это расстояние шар преодолеет за:

1,00(м)/8,66(м/с) = 0,12 с

Т.о., шару потребуется 0,12с для перемещения вдоль наклонной плоскости. Ответ: 0,12с

Интереса ради определим Y-составляющую скорости:

V y = V·sinα = 10·1/2 = 5,0 м/с

Поскольку время "путешествия" шара одинаково для обеих составляющих, то можем определить высоту Y, с которой катился шар:

5,0(м/с)·0,12(с) = 0,6 м

Расстояние, пройденное шаром:

Обратная задача

Рассмотрим задачу, обратную предыдущей:

Шар переместился вдоль наклонной плоскости на высоту 0,6м, при этом в горизонтальной плоскости его перемещение составило 1,0м. Необходимо найти расстояние, пройденное шаром и угол.

Расстояние вычисляем по теореме Пифагора:

L = √1,00 2 + 0,60 2 = √1,36 = 1,16м

По тригонометрии:

X = L·cosα; Y = L·sinα

X/L = cosα; Y/L = sinα

Теперь можно найти угол:

α = arccos(X/L); α = arcsin(Y/L)

Подставляем цифры:

α = arccos(1/1,16) = 30°

Промежуточное вычисление L можно исключить:

Y = X·tgα

Вектор $\overrightarrow{AB}$ можно рассматривать как перемещение точки из положения $A$ (начало движения) в положение $B$ (конец движения). То есть траектория движения в этом случае не важна, важны только начало и конец!

$\blacktriangleright$ Два вектора коллинеарны, если они лежат на одной прямой или на двух параллельных прямых.
В противном случае векторы называются неколлинеарными.

$\blacktriangleright$ Два коллинеарных вектора называются сонаправленными, если их направления совпадают.
Если их направления противоположны, то они называются противоположно направленными.

Правила сложения коллинеарных векторов:

сонаправленных конца первого. Тогда их сумма – вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец – с концом второго (рис. 1).

$\blacktriangleright$ Для того, чтобы сложить два противоположно направленных вектора, можно отложить второй вектор от начала первого. Тогда их сумма – вектор, начало которого совпадает с началом обоих векторов, длина равна разности длин векторов, направление совпадает с направлением большего по длине вектора (рис. 2).

Правила сложения неколлинеарных векторов $\overrightarrow {a}$ и $\overrightarrow{b}$ :

$\blacktriangleright$ Правило треугольника (рис. 3).

Нужно от конца вектора $\overrightarrow {a}$ отложить вектор $\overrightarrow {b}$ . Тогда сумма – это вектор, начало которого совпадает с началом вектора $\overrightarrow {a}$ , а конец – с концом вектора $\overrightarrow {b}$ .

$\blacktriangleright$ Правило параллелограмма (рис. 4).

Нужно от начала вектора $\overrightarrow {a}$ отложить вектор $\overrightarrow {b}$ . Тогда сумма $\overrightarrow {a}+\overrightarrow {b}$ – вектор, совпадающей с диагональю параллелограмма, построенного на векторах $\overrightarrow {a}$ и $\overrightarrow {b}$ (начало которого совпадает с началом обоих векторов).

$\blacktriangleright$ Для того, чтобы найти разность двух векторов $\overrightarrow {a}-\overrightarrow{b}$ , нужно найти сумму векторов $\overrightarrow {a}$ и $-\overrightarrow{b}$ : $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{b})$ (рис. 5).

Задание 1 #2638

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $A$ , точка $O$ – центр описанной около данного треугольника окружности. Координаты вектора $\overrightarrow{AB}=\{1;1\}$ , $\overrightarrow{AC}=\{-1;1\}$ . Найдите сумму координат вектора $\overrightarrow{OC}$ .

Т.к. треугольник $ABC$ - прямоугольный, то центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы, т.е. $O$ - середина $BC$ .

Заметим, что $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$ , следовательно, $\overrightarrow{BC}=\{-1-1;1-1\}=\{-2;0\}$ .

Т.к. $\overrightarrow{OC}=\dfrac12 \overrightarrow{BC}$ , то $\overrightarrow{OC}=\{-1;0\}$ .

Значит, сумма координат вектора $\overrightarrow{OC}$ равна $-1+0=-1$ .

Ответ: -1

Задание 2 #674

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

$ABCD$ – четырёхугольник, на сторонах которого отложены векторы $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{BC}$ , $\overrightarrow{CD}$ , $\overrightarrow{DA}$ . Найдите длину вектора $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA}$ .

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ , $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD}$ , тогда
$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA}= \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AD} = \vec{0}$ .
Нулевой вектор имеет длину, равную $0$ .

Вектор можно воспринимать как перемещение, тогда $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$ – перемещение из $A$ в $B$ , а затем из $B$ в $C$ – в итоге это перемещение из $A$ в $C$ .

При такой трактовке становится очевидным, что $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} = \vec{0}$ , ведь в итоге здесь из точки $A$ переместились в точку $A$ , то есть длина такого перемещения равна $0$ , значит, и сам вектор такого перемещения есть $\vec{0}$ .

Ответ: 0

Задание 3 #1805

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Дан параллелограмм $ABCD$ . Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$ . Пусть , , тогда $\overrightarrow{OA} = x\cdot\vec{a} + y\cdot\vec{b}$

\[\overrightarrow{OA} = \frac{1}{2}\overrightarrow{CA} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BA}) = \frac{1}{2}(\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{BA}) = \frac{1}{2}(-\vec{b} - \vec{a}) = - \frac{1}{2}\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b}\] $\Rightarrow$ $x = - \frac{1}{2}$ , $y = - \frac{1}{2}$ $\Rightarrow$ $x + y = -1$ .

Ответ: -1

Задание 4 #1806

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Дан параллелограмм $ABCD$ . Точки $K$ и $L$ лежат на сторонах $BC$ и $CD$ соответственно, причем $BK:KC = 3:1$ , а $L$ – середина $CD$ . Пусть $\overrightarrow{AB} = \vec{a}$ , $\overrightarrow{AD} = \vec{b}$ , тогда $\overrightarrow{KL} = x\cdot\vec{a} + y\cdot\vec{b}$ , где $x$ и $y$ – некоторые числа. Найдите число, равное $x + y$ .

\[\overrightarrow{KL} = \overrightarrow{KC} + \overrightarrow{CL} = \frac{1}{4}\overrightarrow{BC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{CD} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BA} = \frac{1}{4}\vec{b} - \frac{1}{2}\vec{a}\] $\Rightarrow$ $x = -\frac{1}{2}$ , $y = \frac{1}{4}$ $\Rightarrow$ $x + y = -0,25$ .

Ответ: -0,25

Задание 5 #1807

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Дан параллелограмм $ABCD$ . Точки $M$ и $N$ лежат на сторонах $AD$ и $BC$ соответственно, причем $AM:MD = 2:3$ , а $BN:NC = 3:1$ . Пусть $\overrightarrow{AB} = \vec{a}$ , $\overrightarrow{AD} = \vec{b}$ , тогда $\overrightarrow{MN} = x\cdot\vec{a} + y\cdot\vec{b}$

\[\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BN} = \frac{2}{5}\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow{BC} = - \frac{2}{5}\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow{BC} = -\frac{2}{5}\vec{b} + \vec{a} + \frac{3}{4}\vec{b} = \vec{a} + \frac{7}{20}\vec{b}\] $\Rightarrow$ $x = 1$ , $y = \frac{7}{20}$ $\Rightarrow$ $x\cdot y = 0,35$ .

Ответ: 0,35

Задание 6 #1808

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Дан параллелограмм $ABCD$ . Точки $P$ лежит на диагонали $BD$ , точка $Q$ лежит на стороне $CD$ , причем $BP:PD = 4:1$ , а $CQ:QD = 1:9$ . Пусть $\overrightarrow{AB} = \vec{a}$ , $\overrightarrow{AD} = \vec{b}$ , тогда $\overrightarrow{PQ} = x\cdot\vec{a} + y\cdot\vec{b}$ , где $x$ и $y$ – некоторые числа. Найдите число, равное $x\cdot y$ .

\[\begin{gathered} \overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{PD} + \overrightarrow{DQ} = \frac{1}{5}\overrightarrow{BD} + \frac{9}{10}\overrightarrow{DC} = \frac{1}{5}(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}) + \frac{9}{10}\overrightarrow{AB} =\\ = \frac{1}{5}(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BA}) + \frac{9}{10}\overrightarrow{AB} = \frac{1}{5}(\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}) + \frac{9}{10}\overrightarrow{AB} = \frac{1}{5}\overrightarrow{AD} + \frac{7}{10}\overrightarrow{AB} = \frac{1}{5}\vec{b} + \frac{7}{10}\vec{a}\end{gathered}\]

$\Rightarrow$ $x = \frac{7}{10}$ , $y = \frac{1}{5}$ $\Rightarrow$ $x\cdot y = 0,14$ . и $ABCO$ – параллелограмм; $AF \parallel BE$ и $ABOF$ – параллелограмм $\Rightarrow$ \[\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AO} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BO} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AF} = \vec{a} + \vec{b}\] $\Rightarrow$ $x = 1$ , $y = 1$ $\Rightarrow$ $x + y = 2$ .

Ответ: 2

Старшеклассники, которые готовятся к сдаче ЕГЭ по математике и при этом рассчитывают на получение достойных баллов, обязательно должны повторить тему «Правила сложения и вычитания нескольких векторов». Как видно из многолетней практики, подобные задания каждый год включаются в аттестационное испытание. Если у выпускника вызывают трудности задачи из раздела «Геометрия на плоскости», к примеру, в которых требуется применить правила сложения и вычитания векторов, ему обязательно стоит повторить или вновь разобраться в материале, чтобы успешно сдать ЕГЭ.

Образовательный проект «Школково» предлагает новый подход в подготовке к аттестационному испытанию. Наш ресурс выстроен таким образом, чтобы учащиеся смогли выявить наиболее сложные для себя разделы и восполнить пробелы в знаниях. Специалисты «Школково» подготовили и систематизировали весь необходимый материал для подготовки к сдаче аттестационного испытания.

Для того чтобы задачи ЕГЭ, в которых необходимо применить правила сложения и вычитания двух векторов, не вызывали затруднений, мы рекомендуем прежде всего освежить в памяти базовые понятия. Найти этот материал учащиеся смогут в разделе «Теоретическая справка».

Если вы уже вспомнили правило вычитания векторов и основные определения по данной теме, предлагаем закрепить полученные знания, выполнив соответствующие упражнения, которые подобрали специалисты образовательного портала «Школково». Для каждой задачи на сайте представлен алгоритм решения и дан правильный ответ. В теме «Правила сложения векторов» представлены различные упражнения; выполнив два-три сравнительно легких задания, учащиеся могут последовательно переходить к более сложным.

Оттачивать собственные навыки по таким, например, заданиям, как школьники имеют возможность в режиме онлайн, находясь в Москве или любом другом городе России. При необходимости задание можно сохранить в разделе «Избранное». Благодаря этому вы сможете быстро найти интересующие примеры и обсудить алгоритмы нахождения правильного ответа с преподавателем.

Вектор - это математический объект, который характеризуется величиной и направлением (например, ускорение, перемещение), чем и отливается от скаляров, у которых направления нет (например, расстояние, энергия). Скаляры можно складывать, сложив их значения (например, 5 кДж работы плюс 6 кДж работы равно 11 кДж работы), а вот векторы складывать и вычитать не так просто.

Шаги

Сложение и вычитание векторов с известными компонентами

Так как векторы имеют величину и направление, то их можно разложить на компоненты, основываясь на размерностях х, у и/или z. Они, как правило, обозначаются так же, как точки в системе координат (например, <х,у,z>). Если компоненты известны, то сложить/вычесть векторы так же просто, как сложить/вычесть координаты x, y, z.

Обратите внимание, что векторы могут быть одномерными, двумерными или трехмерными. Таким образом, векторы могут иметь компонент «х», компоненты «х» и «у» или компоненты «х», «у», «z». Ниже рассмотрены трехмерные векторы, но процесс аналогичен для одномерных и двумерных векторов.
Предположим, что вам даны два трехмерных вектора - вектор А и вектор B. Запишите эти векторы в векторной форме: А = и B = , где a1 и а2 - компоненты «х», b1 и b2 - компоненты «у», c1 и c2 - компоненты «z».

Для сложения двух векторов сложите их соответствующие компоненты. Другими словами, сложите компонент «х» первого вектора с компонентом «х» второго вектора (и так далее). В результате вы получите компоненты х, у, z результирующего вектора.
- A+B = .
- Сложим векторы A и B. A = <5, 9, -10> и B = <17, -3, -2>. A + B = <5+17, 9+-3, -10+-2>, или <22, 6, -12> .
Для вычитания одного вектора из другого необходимо вычесть соответствующие компоненты. Как будет показано ниже, вычитание можно заменить сложением одного вектора и вектора, обратного другому. Если компоненты двух векторов известны, вычтите соответствующие компоненты одного вектора из компонентов другого.
- A-B =
- Вычтем векторы A и B. A = <18, 5, 3> и B = <-10, 9, -10>. A - B = <18--10, 5-9, 3--10>, or <28, -4, 13> .
Графическое сложение и вычитание
1. Так как векторы имеют величину и направление, то у них есть начало и конец (начальная точка и конечная точка, расстояние между которыми равно значению вектора). При графическом отображении вектора он рисуется в виде стрелки, у которой наконечник - конец вектора, а противоположная точка - начало вектора.
  - При графическом отображении векторов стройте все углы очень точно; в противном случае вы получите неправильный ответ.
2. Для сложения векторов нарисуйте их так, чтобы конец каждого предыдущего вектора соединялся с началом следующего вектора. Если вы складываете только два вектора, то это все, что вам нужно сделать, прежде чем найти результирующий вектор.
  - Обратите внимание, что порядок соединения векторов не важен, то есть вектор А + вектор B = вектор B + вектор А.
3. Для вычитания вектора просто прибавьте обратный вектор, то есть измените направление вычитаемого вектора, а затем соедините его начало с концом другого вектора. Другими словами, чтобы вычесть вектор, поверните его на 180 o (вокруг точки начала) и сложите его с другим вектором.
  
  Если вы складываете или вычитаете насколько (больше двух) векторов, то последовательно соедините их концы и начала. Порядок, в котором вы соединяете векторы, не имеет значения. Этот метод можно использовать для любого числа векторов.
4. Нарисуйте новый вектор, начиная от начала первого вектора и заканчивая концом последнего вектора (при этом число складываемых векторов не важно). Вы получите результирующий вектор, равный сумме всех складываемых векторов. Обратите внимание, что этот вектор совпадает с вектором, полученным путем сложения компонентов «х», «у», «z» всех векторов.
  - Если вы нарисовали длины векторов и углы между ними очень точно, то вы можете найти значение результирующего вектора, просто измерив его длину. Кроме того, вы можете измерить угол (между результирующим вектором и другим указанным вектором или горизонтальной/вертикальной прямыми), чтобы найти направление результирующего вектора.
  - Если вы нарисовали длины векторов и углы между ними очень точно, то вы можете найти значение результирующего вектора при помощи тригонометрии, а именно теоремы синусов или теоремы косинусов. Если вы складываете несколько векторов (более двух), сначала сложите два вектора, затем сложите результирующий вектор и третий вектор и так далее. Смотрите следующий раздел для получения дополнительной информации.
5. Представьте результирующий вектор, обозначив его значение и направление. Как отмечалось выше, если вы нарисовали длины складываемых векторов и углы между ними очень точно, то значение результирующего вектора равно его длине, а направление - это угол между ним и вертикальной или горизонтальной прямой. К значению вектора не забудьте приписать единицы измерения, в которых даны складываемые/вычитаемые вектора.
  - Например, если вы складываете векторы скорости, измеряемые в м/с, то и к значению результирующего вектора припишите «м/с», а также укажите угол результирующего вектора в формате « o к горизонтальной прямой».
Сложение и вычитание векторов через нахождение значений их компонентов
1. Чтобы найти значения компонентов векторов необходимо знать значения самих векторов и их направление (угол относительно горизонтальной или вертикальной прямой). Рассмотрим двумерный вектор. Сделайте его гипотенузой прямоугольного треугольника, тогда катетами (параллельными осям Х и Y) этого треугольника будут компоненты вектора. Эти компоненты можно рассматривать как соединенные два вектора, которые при сложении дают исходный вектор.
  - Длины (значения) двух компонентов (компонентов «х» и «у») исходного вектора можно вычислить при помощи тригонометрии. Если «х» - это значение (модуль) исходного вектора, то компонент вектора, прилежащий к углу исходного вектора, равен xcosθ, а компонент вектора, противолежащий углу исходного вектора, равен xsinθ.
  - Важно отметить направление компонентов. Если компонент направлен противоположно направлению одной из осей, то его значение будет отрицательным, например, если на двумерной плоскости координат компонент направлен влево или вниз.
  - Например, дан вектор с модулем (значением) 3 и направлением 135 o (по отношению к горизонтали). Тогда компонент «х» равен 3cos 135 = -2,12, а компонент «у» равен 3sin135 = 2,12.
2. После того, как вы нашли компоненты всех складываемых векторов, просто сложите их значения и найдете значения компонентов результирующего вектора. Сначала сложите значения всех горизонтальных компонентов (то есть компонентов, параллельных оси Х). Затем сложите значения всех вертикальных компонентов (то есть компонентов, параллельных оси Y). Если значение компонента отрицательное, то оно вычитается, а не прибавляется.
  - Например, сложим вектор <-2,12, 2,12> и вектор <5,78, -9>. Результирующий вектор будет таким <-2,12 + 5,78, 2,12-9> или <3,66, -6,88>.
3. Вычислите длину (значение) результирующего вектора, используя теорему Пифагора: c 2 =a 2 +b 2 (так как треугольник, образованный исходным вектором и его компонентами является прямоугольным). В этом случае катетами являются компоненты «х» и «у» результирующего вектора, а гипотенузой - сам результирующий вектор.
  - Например, если в нашем примере вы складывали силу, измеряемую в Ньютонах, то ответ запишите так: 7,79 Н под углом -61,99 o (к горизонтальной оси).
- Не путайте векторы с их модулями (значениями).
- Векторы, у которых одно направление, можно складывать или вычитать, просто сложив или отняв их значения. Если складываются два противоположно направленных вектора, то их значения вычитаются, а не складываются.
- Векторы, которые представлены в виде xi + yj + zk можно сложить или вычесть, просто сложив или вычтя соответствующие коэффициенты. Ответ также запишите в виде i,j,k.
- Значение вектора в трехмерном пространстве можно найти с помощью формулы a 2 =b 2 +c 2 +d 2 , где a - значение вектора, b, c, и d - компоненты вектора.
- Векторы-столбцы можно складывать/вычитать, сложив/вычтя соответствующие значения в каждой строке.

Пусть $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ - два вектора (рис.1, а).

Возьмем произвольную точку О и построим вектор $\overrightarrow{ОА} = \overrightarrow{a}$ . Затем от точки А отложим вектор $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b}$. Вектор $\overrightarrow{OB}$, соединяющий начало первого слагаемого вектора с концом второго (рис.1, б), называется суммой этих векторов и обозначается $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$$ (правило треугольника ).

Ту же самую сумму векторов можно получить иным способом. Отложим от точки О векторы $\overrightarrow{ОА} = \overrightarrow{a} \,и\, \overrightarrow{ОС} = \overrightarrow{b} $ (рис.1, в). Построим на этих векторах как на сторонах параллелограмм ОABC. Вектор $\overrightarrow{ОВ}$, служащий диагональю этого параллелограмма, проведенной из вершины О, является, очевидно, суммой векторов $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$ {правило параллелограмма ). Из рисунка 1, в непосредственно следует, что сумма двух векторов обладает переместительным свойством: $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{a}$

Действительно, каждый из векторов $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \,и\, = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{a}$ равен одному и тому же вектору $\overrightarrow{OB}$ .

Пример 1. В треугольнике ABC АВ = 3, ВС = 4, ∠ В = 90°. Найти: $а)\,\ \overrightarrow{|АВ|} + \overrightarrow{|ВС|};\,\,\ б)\,\ |\overrightarrow{АВ} + \overrightarrow{ВС}|$ .

Решение

а) Имеем: $|\overrightarrow{АВ}| = АВ,\,\,\ |\overrightarrow{ВС}| = ВС$ и, значит, $|\overrightarrow{АВ}| + |\overrightarrow{BC}| = 7$ .

б) Так как $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{ВС} = \overrightarrow{АС} \,\,\,\, то\,\, |\overrightarrow{АВ} + \overrightarrow{ВС}| = |\overrightarrow{АС}| = АС$ .

Теперь, применяя теорему Пифагора, находим $$ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{9 + 16} = 5 \\ т.е.\, |\overrightarrow{АВ} + \overrightarrow{ВС}| = 5. $$

Понятие суммы векторов можно обобщить на случай любого конечного числа слагаемых векторов.

Пусть, например, даны три вектора $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} \,и\, \overrightarrow{c}$ (рис.2).

Построив сначала сумму векторов $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$ , а затем прибавив к этой сумме вектор $\overrightarrow{c}$, получим вектор $(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) + \overrightarrow{c}$ . На рисунке 2 $$ \overrightarrow{ОА} = \overrightarrow{a}\,; \overrightarrow{АВ} = b\,; \overrightarrow{ОВ} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\,; \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{c} \\ и \\ \overrightarrow{ОС} = \overrightarrow{ОВ} + \overrightarrow{ВС} = (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) + \overrightarrow{c} $$ Из рисунка 2 видно, что тот же вектор $\overrightarrow{ОС}$ мы получим, если к вектору $\overrightarrow{ОА} = \overrightarrow{a}$ прибавим вектор $\overrightarrow{АВ} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$ . Таким образом, $(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) + \overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} + (\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c})$ , т. е. сумма векторов обладает сочетательным свойством. Поэтому сумму трех векторов $\overrightarrow{a}\,\,\overrightarrow{b}\,\,\overrightarrow{c}$ записывают просто $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$ .

Разностью двух векторов $\overrightarrow{a} \,и\, \overrightarrow{b}$ называется третий вектор $\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$ , сумма которого с вычитаемым вектором $\overrightarrow{b}$ дает вектор $\overrightarrow{a}$. Таким образом, если $\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}\,\, то\, \overrightarrow{c} + \overrightarrow{b} = \overrightarrow{a}$ .

Из определения суммы двух векторов вытекает правило построения вектора-разности (рис.3).

Откладываем векторы $\overrightarrow{ОА} = \overrightarrow{a} \,и\, \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b}$ из общей точки О. Вектор $\overrightarrow{BA}$ , соединяющий концы уменьшаемого вектора $\overrightarrow{a}$ и вычитаемого вектора $\overrightarrow{b}$ и направленный от вычитаемого к уменьшаемому, является разностью $\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$ . Действительно, по правилу сложения векторов $\overrightarrow{ОВ} + \overrightarrow{ВА} = \overrightarrow{ОА} \text{ , или } \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} = \overrightarrow{a}$ .

Пример 2. Сторона равностороннего треугольника ABC равна а. Найти: $а) |\overrightarrow{ВА} - \overrightarrow{ВС}|\,;\,\ б)\,\,\ |\overrightarrow{АВ} - \overrightarrow{АС}|$ .

Решение а) Так как $\overrightarrow{ВА} - \overrightarrow{ВС} = \overrightarrow{СА}\text{ , а }|\overrightarrow{СА}| = а\text{ , то }|\overrightarrow{ВА} - \overrightarrow{ВС}| = а$ .

б) Так как $\overrightarrow{АВ} - \overrightarrow{АС} = \overrightarrow{СВ}\text{ , а }|\overrightarrow{СВ}| = а\text{ , то }|\overrightarrow{АВ} - \overrightarrow{АС}| = а$ .

Произведением вектора $\overrightarrow{a}$(обозначается $=\lambda\overrightarrow{a}$ или $\overrightarrow{a}\lambda$) на действительное число $\lambda$ называется вектор $\overrightarrow{b}$, коллинеарный вектору $\overrightarrow{a}$, имеющий длину, равную $|\lambda||\overrightarrow{a}|$, и то же направление, что и вектор $\overrightarrow{a}$, если $\lambda > 0$ , и направление, противоположное направлению вектора $\overrightarrow{a}$, если $\lambda < 0$ . Так, например, $2\overrightarrow{a}$ есть вектор, имеющий то же направление, что и вектор $\overrightarrow{a}$ , а длину, вдвое большую, чем вектор $\overrightarrow{a}$ (рис.4).

В случае, когда $\lambda = 0$ или $\overrightarrow{a} = 0$ , произведение $\lambda\overrightarrow{a}$ представляет собой нулевой вектор. Противоположный вектор $-\overrightarrow{a}$ можно рассматривать как результат умножения вектора $\overrightarrow{a}$ на $\lambda = -1$ (см. рис.4): $$ -\overrightarrow{a} = \ (-1)\overrightarrow{a} $$ Очевидно, что $\overrightarrow{a} + (-\overrightarrow{a}) = \overrightarrow{0}$ .

Пример 3. Доказать, что если О, А, В и С - произвольные точки, то $\overrightarrow{ОА} + \overrightarrow{АВ} + \overrightarrow{ВС} + \overrightarrow{СО} = 0$ .

Решение. Сумма векторов $\overrightarrow{ОА} + \overrightarrow{АВ} + \overrightarrow{СВ} = \overrightarrow{ОС}$ , вектор $\overrightarrow{CO}$ - противоположный вектору $\overrightarrow{ОС}$ . Поэтому $\overrightarrow{ОС} + \overrightarrow{СО} = \overrightarrow{0}$ .

Пусть дан вектор $\overrightarrow{a}$. Рассмотрим единичный вектор $\overrightarrow{a_0}$ , коллинеарный вектору $\overrightarrow{a}$ и одинаково с ним направленный. Из определения умножения вектора на число следует, что $$ \overrightarrow{a} = |\overrightarrow{a}|\,\ \overrightarrow{a_0} $$ , т.е. каждый вектор равен произведению его модуля на единичный вектор того же направления. Далее из того же определения следует, что если $\overrightarrow{b} = \lambda\overrightarrow{a}$ , где $\overrightarrow{a}$ - ненулевой вектор, то векторы $\overrightarrow{a} \,и\, \overrightarrow{b}$ коллинеарны. Очевидно, что и обратно, из коллинеарности векторов $\overrightarrow{a} \,и\, \overrightarrow{b}$ следует, что $\overrightarrow{b} = \lambda\overrightarrow{a}$.

Пример 4. Длина вектора AB равна 3, длина вектора AC равна 5. Косинус угла между этими векторами равен 1/15. Найдите длину вектора AB + AC.

Видео-решение.

ов, сначала необходимо разобраться в таком понятии, как откладывание вектора от данной точки.

Определение 1

Если точка $A$ начала какого-либо вектора $\overrightarrow{a}$, то говорят, что вектор $\overrightarrow{a}$ отложен от точки $A$ (рис. 1).

Рисунок 1. $\overrightarrow{a}$ отложенный от точки $A$

Введем следующую теорему:

Теорема 1

От любой точки $K$ можно отложить вектор $\overrightarrow{a}$ и притом только один.

Доказательство.

Существование: Здесь нужно рассмотреть два случая:

Вектор $\overrightarrow{a}$ - нулевой.

В этом случае, очевидно, что искомый вектор -- вектор $\overrightarrow{KK}$.

Вектор $\overrightarrow{a}$ -- ненулевой.

Обозначим точкой $A$ -- начало вектора $\overrightarrow{a}$, а точкой $B$ - конец вектора $\overrightarrow{a}$. Проведем через точку $K$ прямую $b$ параллельную вектору $\overrightarrow{a}$. Отложим на этой прямой отрезки $\left|KL\right|=|AB|$ и $\left|KM\right|=|AB|$. Рассмотрим векторы $\overrightarrow{KL}$ и $\overrightarrow{KM}$. Из этих двух векторов искомым будет тот, который будет сонаправлен с вектором $\overrightarrow{a}$ (рис. 2)

Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 1

Единственность: единственность сразу следует из построения, проведенного в пункте «существование».

Теорема доказана.

Вычитание векторов. Правило первое

Пусть нам даны векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$.

Определение 2

Разностью двух векторов $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ называется такой вектор $\overrightarrow{c}$, который при сложении с вектором $\overrightarrow{b}$ дает вектор $\overrightarrow{a}$, то есть

\[\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\]

Обозначение: $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{c}$.

Построение разности двух векторов рассмотрим с помощью задачи.

Пример 1

Пусть даны векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$. Построить вектор $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$.

Решение.

Построим произвольную точку $O$ и отложим от нее векторы $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$. Соединив точку $B$ с точкой $A$, получим вектор $\overrightarrow{BA}$ (рис. 3).

Рисунок 3. Разность двух векторов

По правилу треугольника для построения суммы двух векторов видим, что

\[\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA}\]

\[\overrightarrow{b}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{a}\]

Из определения 2, получаем, что

\[\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{BA}\]

Ответ: $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{BA}$.

Из этой задачи получаем следующее правило для нахождения разности двух векторов. Чтобы найти разность $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ нужно от произвольной точки $O$ отложить векторы $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$ и соединить конец второго вектор с концом первого вектора.

Вычитание векторов. Правило второе

Вспомним следующее необходимое нам понятие.

Определение 3

Вектор $\overrightarrow{a_1}$ называется произвольным для вектора $\overrightarrow{a}$, если эти векторы противоположно направлены и имеют равную длину.

Обозначение: Вектор $(-\overrightarrow{a})$ противоположный для вектора $\overrightarrow{a}$.

Для того чтобы ввести второе правило для разности двух векторов, нам необходимо в начале ввести и доказать следующую теорему.

Теорема 2

Для любых двух векторов $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ справедливо следующее равенство:

\[\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{b})\]

Доказательство.

По определению 2, имеем

Прибавим к обеим частям вектор $\left(-\overrightarrow{b}\right)$, получим

Так как векторы $\overrightarrow{b}$ и $\left(-\overrightarrow{b}\right)$ противоположны, то $\overrightarrow{b}+\left(-\overrightarrow{b}\right)=\overrightarrow{0}$. Имеем

Теорема доказана.

Из этой теоремы получаем следующее правило для разности двух векторов: Чтобы найти разность $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ нужно от произвольной точки $O$ отложить вектор $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$, затем от полученной точки $A$ отложить вектор $\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{b}$ и соединить начало первого вектора с концом второго вектора.

Пример задачи на понятие разности векторов

Пример 2

Пусть дан параллелограмм $ADCD$, диагонали которого пересекаются в точке $O$. $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{b}$ (рис. 4). Выразить через векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ следующие векторы:

а) $\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}$

б) $\overrightarrow{BO}-\overrightarrow{OC}$