"Рациональная дробь. Основное свойство рациональной дроби"

Любое дробное выражение (п. 48) можно записать в виде , где Р и Q - рациональные выражения, причем Q обязательно содержит переменные. Такую дробь - называют рациональной дробью.

Примеры рациональных дробей:

Основное свойство дроби выражается тождеством справедливым при условиях здесь - целое рациональное выражение. Это значит, что числитель и знаменатель рациональной дроби можно умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, одночлен или многочлен.

Например, свойство дроби может быть использовано для перемены знаков у членов дроби. Если числитель и знаменатель дроби - умножить на -1, получим Таким образом, значение дроби не изменится, если одновременно изменить знаки у числителя и знаменателя. Если же изменить знак только у числителя или только у знаменателя, то и дробь изменит свои знак:

Например,

60. Сокращение рациональных дробей.

Сократить дробь - это значит разделить числитель и знаменатель дроби на общий множитель. Возможность такого сокращения обусловлена основным свойством дроби.

Для того чтобы сократить рациональную дробь, нужно числитель и знаменатель разложить на множители. Если окажется, что числитель и знаменатель имеют общие множители, то дробь можно сократить. Если общих множителей нет, то преобразование дроби посредством сокращения невозможно.

Пример. Сократить дробь

Решение. Имеем

Сокращение дроби выполнено при условии .

61. Приведение рациональных дробей к общему знаменателю.

Общим знаменателем нескольких рациональных дробей называется целое рациональное выражение, которое делится на знаменатель каждой дроби (см. п. 54).

Например, общим знаменателем дробей и служит многочлен так как он делится и на и на и многочлен и многочлен и многочлен и т. д. Обычно берут такой общий знаменатель, что любой другой общий знаменатель делится на Еыбранный. Такой простейший знаменатель называют иногда наименьшим общим знаменателем.

В рассмотренном выше примере общий знаменатель равен Имеем

Приведение данных дробей к общему знаменателю достигнуто путем умножения числителя и знаменателя первой дроби на 2. а числителя и знаменателя второй дроби на Многочлены называются дополнительными множителями соответственно для первой и второй дроби. Дополнительный множитель для данной дроби равен частному от деления общего знаменателя на знаменатель данной дроби.

Чтобы несколько рациональных дробей привести к общему знаменателю, нужно:

1) разложить знаменатель каждой дроби на множители;

2) составить общий знаменатель, включив в него в качестве сомножителей все множители полученных в п. 1) разложений; если некоторый множитель имеется в нескольких разложениях, то он берется с показателем степени, равным наибольшему из имеющихся;

3) найтн дополнительные множители для каждой из дробей (для этого общий знаменатель делят на знаменатель дроби);

4) домножив числитель и знаменатель каждой дроби на дополнительный множитель, привести дробн к общему знаменателю.

Пример. Привести к общему знаменателю дроби

Решение. Разложим знаменатели на множители:

В общий знаменатель надо включить следующие множители: и наименьшее общее кратное чисел 12, 18, 24, т. е. . Значит, общий знаменатель имеет вид

Дополнительные множители: для первой дроби для второй для третьей Значит, получаем:

62. Сложение и вычитание рациональных дробей.

Сумма двух (и вообще любого конечного числа) рациональных дробей с одинаковыми знаменателями тождественно равна дроби с тем же знаменателем и с числителем, равным сумме числителей складываемых дробей:

Аналогично обстоит дело в случае вычитания дробей с одинаковыми знаменателями:

Пример 1. Упростить выражение

Решение.

Для сложения или вычитания рациональных дробей с разными знаменателями нужно прежде всего привести дроби к общему знаменателю, а затем выполнить операции над полученными дробями с одинаковыми знаменателями.

Пример 2. Упростить выражение

Решение. Имеем

63. Умножение и деление рациональных дробей.

Произведение двух (и вообще любого конечного числа) рациональных дробей тождественно равно дроби, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель - произведению знаменателей перемножаемых дробей:

Частное от деления двух рациональных дробей тождественно равно дроби, числитель которой равен произведению числителя первой дроби на знаменатель второй дроби, а знаменатель - произведению внаменателя первой дроби на числитель второй дроби:

Сформулированные правила умножения и деления распространяются и на случай умножения или деления на многочлен: достаточно записать этот, многочлен в виде дроби со знаменателем 1.

Учитывая возможность сокращения рациональной дроби, полученной в результате умножения или деления рациональных дробей, обычно стремятся до выполнения этих операций разложить на множители числители и знаменатели исходных дробей.

Пример 1. Выполнить умножение

Решение. Имеем

Использовав правило умножения дробей, получаем:

Пример 2. Выполнить деление

Решение. Имеем

Использовав правило деления, получаем:

64. Возведение рациональной дроби в целую степень.

Чтобы возвести рациональную дробь - в натуральную степень , нужно возвести в эту степень отдельно числитель и знаменатель дроби; первое выражение - числитель, а второе выражение - знаменатель результата:

Пример 1. Преобразовать в дробь степень 3.

Решение Решение.

При возведении дроби в целую отрицательную степень используется тождество справедливое при всех значениях переменных, при которых .

Пример 2. Преобразовать в дробь выражение

65. Преобразование рациональных выражений.

Преобразование любого рационального выражения сводится к сложению, вычитанию, умножению и делению рациональных дробей, а также к возведению дроби в натуральную степень. Всякое рациональное выражение можно преобразовать в дробь, числитель и знаменатель которой - целые рациональные выражения; в этом, как правило, состоит цель тождественных преобразований рациональных выражений.

Пример. Упростить выражение

66. Простейшие преобразования арифметических корней (радикалов).

При преобразовании арифметических корией используются их свойства (см. п. 35).

Рассмотрим несколько примеров на применение свойств арифметических корней для простейших преобразований радикалов. При этом все переменные будем считать принимающими только неотрицательные значения.

Пример 1. Извлечь корень из произведения

Решение. Применив свойство 1°, получим:

Пример 2. Вынести множитель из-под знака корня

Решение.

Такое преобразование называется вынесением множителя из-под знака корня. Цель преобразования - упростить подкоренное выражение.

Пример 3. Упростить .

Решение. По свойству 3° имеем Обычно стараются подкоренное выражение упростить, для чего выносят множители за знак кория. Имеем

Пример 4. Упростить

Решение. Преобразуем выражение, внеся множитель под знак корня: По свойству 4° имеем

Пример 5. Упростить

Решение. По свойству 5° мы имеем право показатель корня и показатель степени подкоренного выражения разделить на одно и то же натуральное число. Если в рассматриваемом, примере разделить указанные показатели на 3, то получим .

Пример 6. Упростить выражения:

Решение, а) По свойству 1° получаем, что для перемножения корней одной и той же степени достаточно перемножить подкоренные выражения и из полученного результата извлечь корень той же степени. Значит,

б) Прежде всего мы должны привести радикалы к одному показателю. Согласно свойству 5° мы можем показатель корня показатель степени подкоренного выражения умножить на одно и то же натуральное число. Поэтому Далее имеем теперь в полученном результате раз делив показатели корня и степени подкоренного выражения На 3, получим .

Прежде всего, чтобы научиться работать с рациональными дробями без ошибок, необходимо выучить формулы сокращённого умножения. И не просто выучить — их необходимо распознавать даже тогда, когда в роли слагаемых выступают синусы, логарифмы и корни.

Однако основным инструментом остаётся разложение числителя и знаменателя рациональной дроби на множители. Этого можно добиться тремя различными способами:

Собственно, по формула сокращённого умножения: они позволяют свернуть многочлен в один или несколько множителей;
С помощью разложения квадратного трёхчлена на множители через дискриминант. Этот же способ позволяет убедиться, что какой-либо трёхчлен на множители вообще не раскладывается;
Метод группировки — самый сложный инструмент, но это единственный способ, который работает, если не сработали два предыдущих.

Как вы уже, наверное, догадались из названия этого видео, мы вновь поговорим о рациональных дробях. Буквально несколько минут назад у меня закончилось занятие с одним десятиклассником, и там мы разбирали именно эти выражения. Поэтому данный урок будет предназначен именно для старшеклассников.

Наверняка у многих сейчас возникнет вопрос: «Зачем ученикам 10-11 классов изучать такие простые вещи как рациональные дроби, ведь это проходится в 8 классе?». Но в том то и беда, что большинство людей эту тему именно «проходят». Они в 10-11 классе уже не помнят, как делается умножение, деление, вычитание и сложение рациональных дробей из 8-го класса, а ведь именно на этих простых знаниях строятся дальнейшие, более сложные конструкции, как решение логарифмических, тригонометрических уравнений и многих других сложных выражений, поэтому без рациональных дробей делать в старших классах практически нечего.

Формулы для решения задач

Давайте перейдем к делу. Прежде всего, нам потребуется два факта — два комплекта формул. Прежде всего, необходимо знать формулы сокращенного умножения:

${{a}^{2}}-{{b}^{2}}=\left(a-b \right)\left(a+b \right)$ — разность квадратов;
${{a}^{2}}\pm 2ab+{{b}^{2}}={{\left(a\pm b \right)}^{2}}$ — квадрат суммы или разности;
${{a}^{3}}+{{b}^{3}}=\left(a+b \right)\left({{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}} \right)$ — сумма кубов;
${{a}^{3}}-{{b}^{3}}=\left(a-b \right)\left({{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}} \right)$ — разность кубов.

В чистом виде они ни в каких примерах и в реальных серьезных выражениях не встречаются. Поэтому наша задача состоит в том, чтобы научиться видеть под буквами $a$ и $b$ гораздо более сложные конструкции, например, логарифмы, корни, синусы и т.д. Научиться видеть это можно лишь при помощи постоянной практики. Именно поэтому решать рациональные дроби совершенно необходимо.

Вторая, совершенно очевидная формула — это разложение квадратного трехчлена на множители:

${{x}_{1}}$; ${{x}_{2}}$ — корни.

С теоретической частью мы разобрались. Но как решать реальные рациональные дроби, которые рассматриваются в 8 классе? Сейчас мы и потренируемся.

Задача № 1

\[\frac{27{{a}^{3}}-64{{b}^{3}}}{{{b}^{3}}-4}:\frac{9{{a}^{2}}+12ab+16{{b}^{2}}}{{{b}^{2}}+4b+4}\]

Давайте попробуем применить вышеописанные формулы к решению рациональных дробей. Прежде всего, хочу объяснить, зачем вообще нужно разложение на множители. Дело в том, что при первом взгляде на первую часть задания хочется сократить куб с квадратом, но делать этого категорически нельзя, потому что они являются слагаемыми в числителе и в знаменателе, но ни в коем случае не множителями.

Вообще, что такое сокращение? Сокращение — это использование основного правила работы с такими выражениями. Основное свойство дроби заключается в том, что мы можем числитель и знаменатель можем умножить на одно и то же число, отличное от «нуля». В данном случае, когда мы сокращаем, то, наоборот, делим на одно и то же число, отличное от «нуля». Однако мы должны все слагаемые, стоящие в знаменателе, разделить на одно и то же число. Делать так нельзя. И сокращать числитель со знаменателем мы вправе лишь тогда, когда оба они разложены на множители. Давайте это и сделаем.

Теперь необходимо посмотреть, сколько слагаемых находится в том или ином элементе, в соответствии с этим узнать, какую формулу необходимо использовать.

Преобразуем каждое выражение в точный куб:

Перепишем числитель:

\[{{\left(3a \right)}^{3}}-{{\left(4b \right)}^{3}}=\left(3a-4b \right)\left({{\left(3a \right)}^{2}}+3a\cdot 4b+{{\left(4b \right)}^{2}} \right)\]

Давайте посмотрим на знаменатель. Разложим его по формуле разности квадратов:

\[{{b}^{2}}-4={{b}^{2}}-{{2}^{2}}=\left(b-2 \right)\left(b+2 \right)\]

Теперь посмотрим на вторую часть выражения:

Числитель:

Осталось разобраться со знаменателем:

\[{{b}^{2}}+2\cdot 2b+{{2}^{2}}={{\left(b+2 \right)}^{2}}\]

Давайте перепишем всю конструкцию с учетом вышеперечисленных фактов:

\[\frac{\left(3a-4b \right)\left({{\left(3a \right)}^{2}}+3a\cdot 4b+{{\left(4b \right)}^{2}} \right)}{\left(b-2 \right)\left(b+2 \right)}\cdot \frac{{{\left(b+2 \right)}^{2}}}{{{\left(3a \right)}^{2}}+3a\cdot 4b+{{\left(4b \right)}^{2}}}=\]

\[=\frac{\left(3a-4b \right)\left(b+2 \right)}{\left(b-2 \right)}\]

Нюансы умножения рациональных дробей

Ключевой вывод из этих построений следующий:

Далеко не каждый многочлен раскладывается на множители.
Даже если он и раскладывается, необходимо внимательно смотреть, по какой именно формуле сокращенного умножения.

Для этого, во-первых, нужно оценить, сколько всего слагаемых (если их два, то все, что мы можем сделать, то это разложить их либо по сумме разности квадратов, либо по сумме или разности кубов; а если их три, то это, однозначно, либо квадрат суммы, либо квадрат разности). Очень часто бывает так, что или числитель, или знаменатель вообще не требует разложения на множители, он может быть линейным, либо дискриминант его будет отрицательным.

Задача № 2

\[\frac{3-6x}{2{{x}^{2}}+4x+8}\cdot \frac{2x+1}{{{x}^{2}}+4-4x}\cdot \frac{8-{{x}^{3}}}{4{{x}^{2}}-1}\]

В целом, схема решения этой задачи ничем не отличается от предыдущей — просто действий будет больше, и они станут разнообразнее.

Начнем с первой дроби: посмотрим на ее числитель и сделаем возможные преобразования:

Теперь посмотрим на знаменатель:

Со второй дробью: в числителе вообще ничего нельзя сделать, потому что это линейное выражение, и вынести из него какой-либо множитель нельзя. Посмотрим на знаменатель:

\[{{x}^{2}}-4x+4={{x}^{2}}-2\cdot 2x+{{2}^{2}}={{\left(x-2 \right)}^{2}}\]

Идем к третьей дроби. Числитель:

Разберемся со знаменателем последней дроби:

Перепишем выражение с учетом вышеописанных фактов:

\[\frac{3\left(1-2x \right)}{2\left({{x}^{2}}+2x+4 \right)}\cdot \frac{2x+1}{{{\left(x-2 \right)}^{2}}}\cdot \frac{\left(2-x \right)\left({{2}^{2}}+2x+{{x}^{2}} \right)}{\left(2x-1 \right)\left(2x+1 \right)}=\]

\[=\frac{-3}{2\left(2-x \right)}=-\frac{3}{2\left(2-x \right)}=\frac{3}{2\left(x-2 \right)}\]

Нюансы решения

Как видите, далеко не все и не всегда упирается в формулы сокращенного умножения — иногда просто достаточно вынести за скобки константу или переменную. Однако бывает и обратная ситуация, когда слагаемых настолько много или они так построены, что формулы сокращенного умножения к ним вообще невозможно. В этом случае к нам на помощь приходит универсальный инструмент, а именно, метод группировки. Именно это мы сейчас и применим в следующей задаче.

Задача № 3

\[\frac{{{a}^{2}}+ab}{5a-{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-5b}\cdot \frac{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}+25-10a}{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}\]

Разберем первую часть:

\[{{a}^{2}}+ab=a\left(a+b \right)\]

\[=5\left(a-b \right)-\left(a-b \right)\left(a+b \right)=\left(a-b \right)\left(5-1\left(a+b \right) \right)=\]

\[=\left(a-b \right)\left(5-a-b \right)\]

Давайте перепишем исходное выражение:

\[\frac{a\left(a+b \right)}{\left(a-b \right)\left(5-a-b \right)}\cdot \frac{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}+25-10a}{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}\]

Теперь разберемся со второй скобкой:

\[{{a}^{2}}-{{b}^{2}}+25-10a={{a}^{2}}-10a+25-{{b}^{2}}=\left({{a}^{2}}-2\cdot 5a+{{5}^{2}} \right)-{{b}^{2}}=\]

\[={{\left(a-5 \right)}^{2}}-{{b}^{2}}=\left(a-5-b \right)\left(a-5+b \right)\]

Так как два элемента не получилось сгруппировать, то мы сгруппировали три. Осталось разобраться лишь со знаменателем последней дроби:

\[{{a}^{2}}-{{b}^{2}}=\left(a-b \right)\left(a+b \right)\]

Теперь перепишем всю нашу конструкцию:

\[\frac{a\left(a+b \right)}{\left(a-b \right)\left(5-a-b \right)}\cdot \frac{\left(a-5-b \right)\left(a-5+b \right)}{\left(a-b \right)\left(a+b \right)}=\frac{a\left(b-a+5 \right)}{{{\left(a-b \right)}^{2}}}\]

Задача решена, и больше ничего упростить здесь нельзя.

Нюансы решения

С группировкой мы разобрались и получили еще один очень мощный инструмент, который расширяет возможности по разложению на множители. Но проблема в том, что в реальной жизни нам никто не будет давать вот такие рафинированные примеры, где есть несколько дробей, у которых нужно лишь разложить на множитель числитель и знаменатель, а потом по возможности их сократить. Реальные выражения будут гораздо сложнее.

Скорее всего, помимо умножения и деления там будут присутствовать вычитания и сложения, всевозможные скобки — вообщем, придется учитывать порядок действий. Но самое страшное, что при вычитании и сложении дробей с разными знаменателями их придется приводить к одному общему. Для этого каждый из них нужно будет раскладывать на множители, а потом преобразовывать эти дроби: приводить подобные и многое другое. Как это сделать правильно, быстро, и при этом получить однозначно правильный ответ? Именно об этом мы и поговорим сейчас на примере следующей конструкции.

Задача № 4

\[\left({{x}^{2}}+\frac{27}{x} \right)\cdot \left(\frac{1}{x+3}+\frac{1}{{{x}^{2}}-3x+9} \right)\]

Давайте выпишем первую дробь и попытаемся разобраться с ней отдельно:

\[{{x}^{2}}+\frac{27}{x}=\frac{{{x}^{2}}}{1}+\frac{27}{x}=\frac{{{x}^{3}}}{x}+\frac{27}{x}=\frac{{{x}^{3}}+27}{x}=\frac{{{x}^{3}}+{{3}^{3}}}{x}=\]

\[=\frac{\left(x+3 \right)\left({{x}^{2}}-3x+9 \right)}{x}\]

Переходим ко второй. Сразу посчитаем дискриминант знаменателя:

Он на множители не раскладывается, поэтому запишем следующее:

\[\frac{1}{x+3}+\frac{1}{{{x}^{2}}-3x+9}=\frac{{{x}^{2}}-3x+9+x+3}{\left(x+3 \right)\left({{x}^{2}}-3x+9 \right)}=\]

\[=\frac{{{x}^{2}}-2x+12}{\left(x+3 \right)\left({{x}^{2}}-3x+9 \right)}\]

Числитель выпишем отдельно:

\[{{x}^{2}}-2x+12=0\]

Следовательно, этот многочлен на множители не раскладывается.

Максимум, что мы могли сделать и разложить, мы уже сделали.

Итого переписываем нашу исходную конструкцию и получаем:

\[\frac{\left(x+3 \right)\left({{x}^{2}}-3x+9 \right)}{x}\cdot \frac{{{x}^{2}}-2x+12}{\left(x+3 \right)\left({{x}^{2}}-3x+9 \right)}=\frac{{{x}^{2}}-2x+12}{x}\]

Все, задача решена.

Если честно, это была не такая уж и сложная задача: там все легко раскладывалось на множители, быстро приводились подобные слагаемые, и все красиво сокращалось. Поэтому сейчас давайте попробуем решить задачку посерьезней.

Задача № 5

\[\left(\frac{x}{{{x}^{2}}+2x+4}+\frac{{{x}^{2}}+8}{{{x}^{3}}-8}-\frac{1}{x-2} \right)\cdot \left(\frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}-4}-\frac{2}{2-x} \right)\]

Сначала давайте разберемся с первой скобкой. С самого начала разложим на множители знаменатель второй дроби отдельно:

\[{{x}^{3}}-8={{x}^{3}}-{{2}^{3}}=\left(x-2 \right)\left({{x}^{2}}+2x+4 \right)\]

\[\frac{x}{{{x}^{2}}+2x+4}+\frac{{{x}^{2}}+8}{{{x}^{3}}-8}-\frac{1}{{{x}^{2}}}=\]

\[=\frac{x}{{{x}^{2}}+2x+4}+\frac{{{x}^{2}}+8}{\left(x-2 \right)\left({{x}^{2}}+2x+4 \right)}-\frac{1}{x-2}=\]

\[=\frac{x\left(x-2 \right)+{{x}^{2}}+8-\left({{x}^{2}}+2x+4 \right)}{\left(x-2 \right)\left({{x}^{2}}+2x+4 \right)}=\]

\[=\frac{{{x}^{2}}-2x+{{x}^{2}}+8-{{x}^{2}}-2x-4}{\left(x-2 \right)\left({{x}^{2}}+2x+4 \right)}=\]

\[=\frac{{{x}^{2}}-4x+4}{\left(x-2 \right)\left({{x}^{2}}+2x+4 \right)}=\frac{{{\left(x-2 \right)}^{2}}}{\left(x-2 \right)\left({{x}^{2}}+2x+4 \right)}=\frac{x-2}{{{x}^{2}}+2x+4}\]

Теперь поработаем со второй дробью:

\[\frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}-4}-\frac{2}{2-x}=\frac{{{x}^{2}}}{\left(x-2 \right)\left(x+2 \right)}-\frac{2}{2-x}=\frac{{{x}^{2}}+2\left(x-2 \right)}{\left(x-2 \right)\left(x+2 \right)}=\]

\[=\frac{{{x}^{2}}+2x+4}{\left(x-2 \right)\left(x+2 \right)}\]

Возвращаемся к нашей исходной конструкции и записываем:

\[\frac{x-2}{{{x}^{2}}+2x+4}\cdot \frac{{{x}^{2}}+2x+4}{\left(x-2 \right)\left(x+2 \right)}=\frac{1}{x+2}\]

Ключевые моменты

Еще раз ключевые факты сегодняшнего видеоурока:

Необходимо знать «назубок» формулы сокращенного умножения — и не просто знать, а уметь видеть в тех выражениях, которые будут вам встречаться в реальных задачах. Помочь нам в этом может замечательное правило: если слагаемых два, то это либо разность квадратов, либо разность или сумма кубов; если три — это может быть только квадрат суммы или разности.
Если какая-либо конструкция не раскладывается при помощи формул сокращенного умножения, то нам на помощь приходит либо стандартная формула разложения трехчленов на множители, либо метод группировки.
Если что-то не получается, внимательно посмотрите на исходное выражение — а требуются ли вообще какие-то преобразования с ним. Возможно, достаточно будет просто вынести множитель за скобку, а это очень часто бывает просто константа.
В сложных выражениях, где требуется выполнить несколько действий подряд, не забывайте приводить к общему знаменателю, и лишь после этого, когда все дроби приведены к нему, обязательно приведите подобное в новом числителе, а потом новый числитель еще раз разложите на множители — возможно, что-то сократится.

Вот и все, что я хотел вам рассказать сегодня о рациональных дробях. Если что-то непонятно — на сайте еще куча видеоуроков, а также куча задач для самостоятельного решения. Поэтому оставайтесь с нами!

Начнём с некоторых определений. Многочленом n-й степени (или n-го порядка) будем именовать выражение вида $P_n(x)=\sum\limits_{i=0}^{n}a_{i}x^{n-i}=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+\ldots+a_{n-1}x+a_n$. Например, выражение $4x^{14}+87x^2+4x-11$ есть многочлен, степень которого равна $14$. Его можно обозначить так: $P_{14}(x)=4x^{14}+87x^2+4x-11$.

Отношение двух многочленов $\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}$ называется рациональной функцией или рациональной дробью . Если более точно, то это рациональная функция одной переменной (т.е. переменной $x$).

Рациональная дробь называется правильной , если $n < m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется неправильной .

Пример №1

Указать, какие из приведённых ниже дробей являются рациональными. Если дробь является рациональной, то выяснить, правильная она или нет.

$\frac{3x^2+5\sin x-4}{2x+5}$;
$\frac{5x^2+3x-8}{11x^9+25x^2-4}$;
$\frac{(2x^3+8x+4)(8x^4+5x^3+x+145)^9(5x^7+x^6+9x^5+3)}{(5x+4)(3x^2+9)^{15}(15x^{10}+9x-1)}$;
$\frac{3}{(5x^6+4x+19)^4}$.

1) Данная дробь не является рациональной, поскольку содержит $\sin x$. Рациональная дробь этого не допускает.

2) Мы имеем отношение двух многочленов: $5x^2+3x-8$ и $11x^9+25x^2-4$. Следовательно, согласно определению, выражение $\frac{5x^2+3x-8}{11x^9+25x^2-4}$ есть рациональная дробь. Так как степень многочлена в числителе равна $2$, а степень многочлена в знаменателе равна $9$, то данная дробь является правильной (ибо $2 < 9$).

3) И в числителе, и в знаменателе данной дроби расположены многочлены (разложенные на множители). Нам совершенно неважно, в какой форме представлены многочлены числителя и знаменателя: разложены они на множители или нет. Так как мы имеем отношение двух многочленов, то согласно определению выражение $\frac{(2x^3+8x+4)(8x^4+5x^3+x+145)^9(5x^7+x^6+9x^5+3)}{(5x+4)(3x^2+9)^{15}(15x^{10}+9x-1)}$ есть рациональная дробь.

Дабы ответить на вопрос о том, является ли данная дробь правильной, следует определить степени многочленов в числителе и знаменателе. Начнём с числителя, т.е. с выражения $(2x^3+8x+4)(8x^4+5x^3+x+145)^9(5x^7+x^6+9x^5+3)$. Для определения степени этого многочлена можно, конечно, раскрыть скобки. Однако разумно поступить гораздо проще, ибо нас интересует лишь наибольшая степень переменной $x$. Выберем из каждой скобки переменную $x$ в наибольшей степени. Из скобки $(2x^3+8x+4)$ возьмём $x^3$, из скобки $(8x^4+5x^3+x+9)^9$ возьмём $(x^4)^9=x^{4\cdot9}=x^{36}$, а из скобки $(5x^7+x^6+9x^5+3)$ выберем $x^7$. Тогда после раскрытия скобок наибольшая степень переменной $x$ будет такой:

$$ x^3\cdot x^{36}\cdot x^7=x^{3+36+7}=x^{46}. $$

Степень многочлена, расположенного в числителе, равна $46$. Теперь обратимся к знаменателю, т.е. к выражению $(5x+4)(3x^2+9)^{15}(15x^{10}+9x-1)$. Степень этого многочлена определяется так же, как и для числителя, т.е.

$$ x\cdot (x^2)^{15}\cdot x^{10}=x^{1+30+10}=x^{41}. $$

В знаменателе расположен многочлен 41-й степени. Так как степень многочлена в числителе (т.е. 46) не меньше степени многочлена в знаменателе (т.е. 41), то рациональная дробь $\frac{(2x^3+8x+4)(8x^4+5x^3+x+145)^9(5x^7+x^6+9x^5+3)}{(5x+4)(3x^2+9)^{15}(15x^{10}+9x-1)}$ является неправильной.

4) В числителе дроби $\frac{3}{(5x^6+4x+19)^4}$ стоит число $3$, т.е. многочлен нулевой степени. Формально числитель можно записать так: $3x^0=3\cdot1=3$. В знаменателе имеем многочлен, степень которого равна $6\cdot 4=24$. Отношение двух многочленов есть рациональная дробь. Так как $0 < 24$, то данная дробь является правильной.

Ответ : 1) дробь не является рациональной; 2) рациональная дробь (правильная); 3) рациональная дробь (неправильная); 4) рациональная дробь (правильная).

Теперь перейдём к понятию элементарных дробей (их ещё именуют простейшими рациональными дробями). Существуют четыре типа элементарных рациональных дробей:

$\frac{A}{x-a}$;
$\frac{A}{(x-a)^n}$ ($n=2,3,4,\ldots$);
$\frac{Mx+N}{x^2+px+q}$ ($p^2-4q < 0$);
$\frac{Mx+N}{(x^2+px+q)^n}$ ($p^2-4q < 0$; $n=2,3,4,\ldots$).

Примечание (желательное для более полного понимания текста): показать\скрыть

Зачем нужно условие $p^2-4q < 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.

Например, для выражения $x^2+5x+10$ получим: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. Так как $p^2-4q=-15 < 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

Кстати сказать, для этой проверки вовсе не обязательно, чтобы коэффициент перед $x^2$ равнялся 1. Например, для $5x^2+7x-3=0$ получим: $D=7^2-4\cdot 5 \cdot (-3)=109$. Так как $D > 0$, то выражение $5x^2+7x-3$ разложимо на множители.

Задача состоит в следующем: заданную правильную рациональную дробь представить в виде суммы элементарных рациональных дробей. Решению этой задачи и посвящён материал, изложенный на данной странице. Для начала нужно убедиться, что выполнено следующее условие: многочлен в знаменателе правильной рациональной дроби разложен на множители таким образом, что оное разложение содержит лишь скобки вида $(x-a)^n$ или $(x^2+px+q)^n$ ($p^2-4q < 0$).Грубо говоря, это требование означает необходимость максимального разложения многочлена в знаменателе, т.е. чтобы дальнейшее разложение было невозможно. Только если это условие выполнено, то можно применять такую схему:

Каждой скобке вида $(x-a)$, расположенной в знаменателе, соответствует дробь $\frac{A}{x-a}$.
Каждой скобке вида $(x-a)^n$ ($n=2,3,4,\ldots$), расположенной в знаменателе, соответствует сумма из $n$ дробей: $\frac{A_1}{x-a}+\frac{A_2}{(x-a)^2}+\frac{A_3}{(x-a)^3}+\ldots+\frac{A_n}{(x-a)^n}$.
Каждой скобке вида $(x^2+px+q)$ ($p^2-4q < 0$), расположенной в знаменателе, соответствует дробь $\frac{Cx+D}{x^2+px+q}$.
Каждой скобке вида $(x^2+px+q)^n$ ($p^2-4q < 0$; $n=2,3,4,\ldots$), расположенной в знаменателе, соответствует сумма из $n$ дробей: $\frac{C_1x+D_1}{x^2+px+q}+\frac{C_2x+D_2}{(x^2+px+q)^2}+\frac{C_3x+D_3}{(x^2+px+q)^3}+\ldots+\frac{C_nx+D_n}{(x^2+px+q)^n}$.

Если же дробь неправильная, то перед применением вышеизложенной схемы следует разбить её на сумму целой части (многочлен) и правильной рациональной дроби. Как именно это делается, разберём далее (см. пример №2 пункт 3). Пару слов насчёт буквенных обозначений в числителях (т.е. $A$, $A_1$, $C_2$ и тому подобные). Буквы можно использовать любые - на свой вкус. Важно лишь, чтобы эти буквы были различными во всех элементарных дробях. Чтобы найти значения этих параметров применяют метод неопределённых коэффициентов или метод подстановки частных значений (см. примеры №3, №4 и №5).

Пример №2

Разложить заданные рациональные дроби на элементарные (без нахождения параметров):

$\frac{5x^4-10x^3+x^2-9}{(x-5)(x+2)^4 (x^2+3x+10)(x^2+11)^5}$;
$\frac{x^2+10}{(x-2)^3(x^3-8)(3x+5)(3x^2-x-10)}$;
$\frac{3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22}{x^3-2x^2+4x-8}$.

1) Имеем рациональную дробь. В числителе этой дроби расположен многочлен 4-й степени, а в знаменателе многочлен, степень которого равна $17$ (как определить эту степень детально пояснено в пункте №3 примера №1). Так как степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе, то данная дробь является правильной. Обратимся к наменателю этой дроби. Начнём со скобок $(x-5)$ и $(x+2)^4$, которые полностью подпадают под вид $(x-a)^n$. Кроме того, имеются ещё и скобки $(x^2+3x+10)$ и $(x^2+11)^5$. Выражение $(x^2+3x+10)$ имеет вид $(x^2+px+q)^n$, где $p=3$; $q=10$, $n=1$. Так как $p^2-4q=9-40=-31 < 0$, то данную скобку больше нельзя разложить на множители. Обратимся ко второй скобке, т.е. $(x^2+11)^5$. Это тоже скобка вида $(x^2+px+q)^n$, но на сей раз $p=0$, $q=11$, $n=5$. Так как $p^2-4q=0-121=-121 < 0$, то данную скобку больше нельзя разложить на множители. Итак, мы имеем следующий вывод: многочлен в знаменателе разложен на множители таким образом, что оное разложение содержит лишь скобки вида $(x-a)^n$ или $(x^2+px+q)^n$ ($p^2-4q < 0$). Теперь можно переходить и к элементарным дробям. Мы будем применять правила , изложенные выше. Согласно правилу скобке $(x-5)$ будет соответствовать дробь $\frac{A}{x-5}$. Это можно записать так:

$$ \frac{5x^4-10x^3+x^2-9}{(x-5)(x+2)^4 (x^2+3x+10)(x^2+11)^5}=\frac{A}{x-5}+\ldots $$

Полученный результат можно записать так:

$$ 3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22=(x^3-2x^2+4x-8)(3x^2+x)+4x^2+x+22. $$

Тогда дробь $\frac{3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22}{x^3-2x^2+4x-8}$ представима в иной форме:

$$ \frac{3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22}{x^3-2x^2+4x-8}=\frac{(x^3-2x^2+4x-8)(3x^2+x)+4x^2+x+22}{x^3-2x^2+4x-8}=\\ =\frac{(x^3-2x^2+4x-8)(3x^2+x)}{x^3-2x^2+4x-8}+\frac{4x^2+x+22}{x^3-2x^2+4x-8}=\\ =3x^2+x+\frac{4x^2+x+22}{x^3-2x^2+4x-8}. $$

Дробь $\frac{4x^2+x+22}{x^3-2x^2+4x-8}$ является правильной рациональной дробью, ибо степень многочлена в числителе (т.е. 2) меньше степени многочлена в знаменателе (т.е. 3). Теперь обратимся к знаменателю данной дроби. В знаменателе расположен многочлен, который нужно разложить на множители. Иногда для разложения на множители полезна схема Горнера , но в нашем случае проще обойтись стандартным "школьным" методом группировки слагаемых:

$$ x^3-2x^2+4x-8=x^2\cdot(x-2)+4\cdot(x-2)=(x-2)\cdot(x^2+4);\\ 3x^2+x+\frac{4x^2+x+22}{x^3-2x^2+4x-8}=3x^2+x+\frac{4x^2+x+22}{(x-2)\cdot(x^2+4)} $$

Применяя те же методы, что и в предыдущих пунктах, получим:

$$ \frac{4x^2+x+22}{(x-2)\cdot(x^2+4)}=\frac{A}{x-2}+\frac{Cx+D}{x^2+4} $$

Итак, окончательно имеем:

$$ \frac{3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22}{x^3-2x^2+4x-8}=3x^2+x+\frac{A}{x-2}+\frac{Cx+D}{x^2+4} $$

Продолжение этой темы будет рассмотрено во второй части.

Она имеет вид

где P(x) и Q(x) некоторые многочлены.

Различают правильные и неправильные рациональные дроби, по аналогии с обычными числовыми дробями. Рациональная дробь называется правильной, если порядок знаменателя больше порядка числителя, и неправильной, если наоборот.

Любую неправильную рациональную дробь можно преобразовать в сумму некоторого многочлена и правильной рациональной дроби

Любую рациональную дробь многочленов с вещественными коэффициентами можно представить как сумму рациональных дробей, знаменателями которых являются выражения (x − a ) k (a - вещественный корень Q(x)) либо (x 2 + p x + q ) k (где x 2 + p x + q не имеет действительных корней), причём степени k не больше кратности соответствующих корней в многочлене Q(x). На основании этого утверждения основана теорема об интегрируемости рациональной дроби. Согласно ей, любая рациональная дробь может быть интегрирована в элементарных функциях, что делает класс рациональных дробей весьма важным в математическом анализе.

См. также

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Рациональная дробь" в других словарях:

Рациональная функция это дробь, числителем и знаменателем которой являются многочлены. Она имеет вид где, многочлены от любого числа переменных. Частным случаем являются рациональные функции одного переменного: , где… … Википедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Дробь. 8 / 13 числитель числитель знаменатель знаменатель Две записи одной дроби Дробь в математике число, состоящее из одной или нескольких частей… … Википедия

В Викисловаре есть статья «дробь» Наименование символа «⁄» (другое, распространённое по большей части в английском языке, название символа солидус (англ.), или слэш), например, в номерах домов. Так номер дома «5/17» читается «пять… … Википедия

1) Р. ф. функция w=R(z), где R(z) рациональное выражение от z, т. е. выражение, полученное из независимого переменного z и нек рого конечного набора чисел (действительных или комплексных) посредством конечного числа арифметич. действий. Р. ф.… … Математическая энциклопедия

Четверти Рациональное число (лат. ratio отношение, деление, дробь) число, представляемое обыкновенной дробью, где m целое число, а n натуральное число. При этом число m называется числителем, а число n знаменателем дроби. Таку … Википедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Дробь. Наипростейшей дробью ой степени называется рациональная функция вида где принимает натуральные значения, а точки, являющиеся полюсами функции, не обязательно геометрически различны.… … Википедия

Число, выражаемое рациональной дробью. Формальная теория Р. ч. строится с помощью пар целых чисел. Р а ц и о н а л ь н о й д р о б ь ю наз. упорядоченная пара (а, b)целых чисел а и b, у к рой b№0. Две рациональные дроби и наз. э к в и в а л е н … Математическая энциклопедия