«Многоразличие должно обнимать многое в едином или простом» Евклид Как часто можно проследить универсальность знаний и их применения в различных отраслях жизни? Как часто примеры точных наук используются в гуманитарных сферах деятельности человека? И как часто, в конце концов, частное может быть отражением целого?

Одним из возможных примеров в качестве ответа на поставленные вопросы является такое явление как фрактал.

Фрактал - геометрическая фигура, обладающая свойством самоподобия, то есть составленная из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком.

Ее универсальность в применении и распространении в жизни человека удивительна.

Фрактал является математическим термином, имеет сложные точные исчисления и строится на точных математических принципах, находит широкое применение в компьютерной графике и построении многих компьютерных процессов.

Сейчас, применение фрактала распространяется от математики до искусства, но самым удивительным является то, что копнув глубже, приходишь в выводу, что он отображает самые базисные эзотерические принципы устройства мироздания.

Главный Закон Мироздания - закон Голограммы или закон Фрактала формулируется следующим образом: Космос (Единство) в индивидуальной форме - это элемент (Многообразие) в глобальной форме. Элемент (Многообразие) в индивидуальной форме - это космос (Единство) в глобальной форме.

Происхождение термина

Фракталы – это структуры, состоящие из частей, которые подобны целому. В переводе с латыни, «fractus» обозначает «дроблёный, сломанный, разбитый». Другими словами, это самоподобие целого частному в рамках геометрических фигур. Существует точная наука изучения и составления фракталов – фрактазм .

Сам термин «фрактал » ввел в математику Бенуа Мальденброт в 1975 году, который и принято считать годом рождения фрактазма.

В математике под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность, либо метрическую размерность, отличную от топологической. И конечно, как любая другая математическая наука, фрактазм насыщен множеством сложнейших теоретических изысканий и формул.

Примечательно то, что Мальденброт не являлся первооткрывателем фракталов , он хоть и мастерски, но просто объединил и подытожил данные в систему.

Фракталы встречаются повсеместно и знакомы совершенно каждому. Об этом писал Мальденброт в своей работе «Фрактальная геометрия природы».

Самым простым примером фрактальности может послужить дерево, где каждая ветвь повторяет более крупную, которая с свою очередь повторяет само дерево. Тоже можно пронаблюдать в кровеносной системе организма, в снежинках и облаках, зимних рисунках на окнах, внешнем виде многих живых существ и т.д.

Фракталы в изобразительном искусстве

Возвращаясь к прошлому, в искусстве человечества, как и в природе, с легкостью можно найти примеры использования фракталов . Яркими работами в этой системе является рисунок Леонардо да Винчи «Всемирный потоп», гравюры японского художника Кацусики Хокусая и работы Э. Эшера также являются ярким примером фрактальности и список этот можно продолжать бесконечно.

Таким образом, проявления фрактальности вышло за рамки математической теории и нашло свою пристанище во многих сферах жизни, в том числе и ярко представлен в искусстве ХХ века. появляются новые формы искусства, основой которых является фрактальная графика .

Фрактальный экспрессионизм или фракталаж, в удивительных работах Д. Нильсена, фрактальные монотипии от Л.Лившиц, фрактальная абстракция В.Рибаса, фрактальный реализм В. Усеинова и А. Сундукова. Фрактальные картины стали неотъемлемой частью изобразительного искусства, которые участвуют в выставках по всему миру. Фрактал стал одним из популярных и востребованных явлений в пост-модернизме нашего века.

В качестве еще одного примера можно выделить работы очень молодой итальянской художницы Сильвии Кордедда, которая с помощью специальных фрактальных расчетов, создает удивительной красоты цветы, фантастические и неповторимые.

Фрактальность повсеместна

Использование фракталов на искусстве не заканчивается, они нашли невероятно большие области применения, начиная с математики и заканчивая литературой.

Широко распространена компьютерная фрактальная графика , которая используется для моделирования и построения разнообразных конструкций и макетов. Удивительно, но принципы фрактальности используются даже в бизнесе, для анализа рынков и бирж. В биологии моделируют и исследуют популяции и развитие внутренних органов.
Я спрашивал себя, как может книга быть бесконечной. В голову не приходит ничего, кроме цикличного, идущего по кругу тома, тома, в котором последняя страница повторяет первую, что и позволяет ему продолжаться сколько угодно Х.Л. Борхес Пожалуй, самым интересным и удивительным считается проявление фрактальности в литературе. Самый простой и известный пример как всегда из детства – все знают эти строки: «у попа была собака, он ее любил. Она съела кусок мяса, он ее убил. В землю закопал, надпись написал, что у попа была собака…» и так до бесконечности. Также примером является известная всем притча о бабочке Чжуан Цзы. К фрактальной литературе относят также венки сонетов и многое другое.

Как видно, фрактальность проявлена в нашем мире невероятно многогранно, имеет как практическую, так и эстетическую ценность, что само по себе, с точки зрения организации всего нашего мира, является примером.

ВНИМАНИЕ! При любом использовании материалов сайта активная ссылка на обязательна!

Фракталы известны уже почти век, хорошо изучены и имеют многочисленные приложения в жизни. В основе этого явления лежит очень простая идея: бесконечное по красоте и разнообразию множество фигур можно получить из относительно простых конструкций при помощи всего двух операций - копирования и масштабирования

У этого понятия нет строгого определения. Поэтому слово «фрактал» не является математическим термином. Обычно так называют геометрическую фигуру, которая удовлетворяет одному или нескольким из следующих свойств:

• обладает сложной структурой при любом увеличении;
• является (приближенно) самоподобной;
• обладает дробной хаусдорфовой (фрактальной) размерностью , которая больше топологической;
• может быть построена рекурсивными процедурами.

На рубеже XIX и XX веков изучение фракталов носило скорее эпизодический, нежели систематический характер, потому что раньше математики в основном изучали «хорошие» объекты, которые поддавались исследованию при помощи общих методов и теорий. В 1872 году немецкий математик Карл Вейерштрасс построил пример непрерывной функции, которая нигде не дифференцируема. Однако его построение было целиком абстрактно и трудно для восприятия. Поэтому в 1904 году швед Хельге фон Кох придумал непрерывную кривую, которая нигде не имеет касательной, причем ее довольно просто нарисовать. Оказалось, что она обладает свойствами фрактала. Один из вариантов этой кривой носит название «снежинка Коха» .

Идеи самоподобия фигур подхватил француз Поль Пьер Леви, будущий наставник Бенуа Мандельброта. В 1938 году вышла его статья «Плоские и пространственные кривые и поверхности, состоящие из частей, подобных целому», в которой описан еще один фрактал - С-кривая Леви . Все эти вышеперечисленные фракталы можно условно отнести к одному классу конструктивных (геометрических) фракталов .

Другой класс - динамические (алгебраические) фракталы , к которым относится и множество Мандельброта . Первые исследования в этом направлении относятся к началу XX века и связаны с именами французских математиков Гастона Жюлиа и Пьера Фату. В 1918 году вышел почти двухсотстраничный труд Жюлиа, посвященный итерациям комплексных рациональных функций, в котором описаны множества Жюлиа - целое семейство фракталов, близко связанных с множеством Мандельброта. Этот труд был удостоен приза Французской академии, однако в нем не содержалось ни одной иллюстрации, так что оценить красоту открытых объектов было невозможно. Несмотря на то что это работа прославила Жюлиа среди математиков того времени, о ней довольно быстро забыли.

Вновь внимание к работам Жюлиа и Фату обратилось лишь полвека спустя, с появлением компьютеров: именно они сделали видимыми богатство и красоту мира фракталов. Ведь Фату никогда не мог посмотреть на изображения, которые мы сейчас знаем как изображения множества Мандельброта, потому что необходимое количество вычислений невозможно провести вручную. Первым, кто использовал для этого компьютер был Бенуа Мандельброт.

В 1982 году вышла книга Мандельброта «Фрактальная геометрия природы», в которой автор собрал и систематизировал практически всю имевшуюся на тот момент информацию о фракталах и в легкой и доступной манере изложил ее. Основной упор в своем изложении Мандельброт сделал не на тяжеловесные формулы и математические конструкции, а на геометрическую интуицию читателей. Благодаря иллюстрациям, полученным при помощи компьютера, и историческим байкам, которыми автор умело разбавил научную составляющую монографии, книга стала бестселлером, а фракталы стали известны широкой публике. Их успех среди нематематиков во многом обусловлен тем, что с помощью весьма простых конструкций и формул, которые способен понять и старшеклассник, получаются удивительные по сложности и красоте изображения. Когда персональные компьютеры стали достаточно мощными то появилось даже целое направление в искусстве - фрактальная живопись, причем заниматься ею мог практически любой владелец компьютера. Сейчас в интернете можно легко найти множество сайтов, посвященных этой теме.

Презентация на тему: Фракталы в искусстве и архитектуре Подготовил ученик 10 класса Варченков Вадим Валерьевич, руководитель - Стиплина Галина Николаевна Муниципального бюджетного общеобразовательного учреждения «Средняя Общеобразовательная Школа 9» Тел.: , г.Сафоново Смоленской области 2014 Номинация: «Математические модели реальных процессов в природе и обществе»

Фрактал является математическим термином, имеет сложные точные исчисления и строится на точных математических принципах, находит широкое применение в компьютерной графике и построении многих компьютерных процессов. Сейчас, применение фрактала распространяется от математики до искусства, но самым удивительным является то, что копнув глубже, приходишь в выводу, что он отображает самые базисные эзотерические принципы устройства мироздания.

Происхождение термина Фракталы – это структуры, состоящие из частей, которые подобны целому. В переводе с латыни, «fractus» обозначает «дроблёный, сломанный, разбитый». Другими словами, это самоподобие целого частному в рамках геометрических фигур. Существует точная наука изучения и составления фракталов – фрактазм.

Сам термин «фрактал» ввел в математику Бенуа Мальденброт в 1975 году, который и принято считать годом рождения фрактазма. В математике под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность, либо метрическую размерность, отличную от топологической. И конечно, как любая другая математическая наука, фрактазм насыщен множеством сложнейших теоретических изысканий и формул.

Фракталы в изобразительном искусстве Возвращаясь к прошлому, в искусстве человечества, как и в природе, с легкостью можно найти примеры использования фракталов. Яркими работами в этой системе является рисунок Леонардо да Винчи «Всемирный потоп», гравюры японского художника Кацусики Хокусая и работы Э. Эшера также являются ярким примером фрактальности и список этот можно продолжать бесконечно.

Таким образом, проявления фрактальности вышло за рамки математической теории и нашло свою пристанище во многих сферах жизни, в том числе и ярко представлен в искусстве ХХ века. появляются новые формы искусства, основой которых является фрактальная графика.

Фрактальный экспрессионизм или фракталаж, в удивительных работах Д. Нильсена, фрактальные монотипии от Л.Лившиц, фрактальная абстракция В.Рибаса, фрактальный реализм В. Усеинова и А. Сундукова. Фрактальные картины стали неотъемлемой частью изобразительного искусства, которые участвуют в выставках по всему миру.Фрактал стал одним из популярных и востребованных явлений в пост-модернизме нашего века.

Применение теории фракталов в архитектуре В архитектуре применяются геометрические фракталы. Основными представителями этой группы являются такие объекты, как: кривая Пеано, снежинка Коха, треугольник Серпинского, пыль Кантора, «дракон» Хартера-Хейтуэя и т.д. Все они получены путем повторений определенной последовательности геометрических построений с использованием точек и линий.

Фракталы этой группы самые наглядные. Если проанализировать данные изображения, можно выделить следующие свойства геометрических фракталов: бесконечное множество геометрического фрактала покрывает ограниченную площадь поверхности; бесконечное множество, составляющее фрактал, обладает свойством самоподобия; длины, площади и объемы одних фракталов стремятся к бесконечности, других – равны нулю.

Треугольник Серпинского Следующий способ получить треугольник Серпинского еще больше похож на обычную схему построения геометрических фракталов с помощью замены частей очередной итерации на масштабированный фрагмент. Здесь на каждом шаге составляющие ломаную отрезки заменяются на ломаную из трех звеньев (она сама получается в первой итерации). Откладывать эту ломаную нужно попеременно то вправо, то влево. Видно, что уже восьмая итерация очень близка к фракталу, и чем дальше, тем ближе будет подбираться к нему линия. Этот фрактал описал в 1915 году польский математик Вацлав Серпинский. Чтобы его получить, нужно взять (равносторонний) треугольник с внутренностью, провести в нём средние линии и выкинуть центральный из четырех образовавшихся маленьких треугольников. Дальше эти же действия нужно повторить с каждым из оставшихся трех треугольников, и т. д.

Варианты Треугольника Серпинского Ковер (квадрат, салфетка) Серпинского. Квадратная версия была описана Вацлавом Серпинским в 1916 году. Ему удалось доказать, что любая кривая, которую можно нарисовать на плоскости без самопересечений, гомеоморфна какому-то подмножеству этого дырявого квадрата. Как и треугольник, квадрат можно получить из разных конструкций. Справа изображен классический способ: разделение квадрата на 9 частей и выбрасывание центральной части. Затем то же повторяется для оставшихся 8 квадратов, и т. д

Пирамида Серпинского Один из трехмерных аналогов треугольника Серпинского. Строится аналогично с учетом трехмерности происходящего: 5 копий начальной пирамиды, сжатой в два раза, составляют первую итерацию, ее 5 копий составят вторую итерацию, и т. д. Фрактальная размерность равна log25. У фигуры нулевой объем (на каждом шаге половина объема выбрасывается), но при этом площадь поверхности сохраняется от итерации к итерации, и у фрактала она такая же, как и у начальной пирамиды.

Губка Менгера Обобщение ковра Серпинского в трехмерное пространство. Чтобы построить губку, нужно бесконечное повторение процедуры: каждый из кубиков, из которых состоит итерация, делится на 27 втрое меньших кубиков, из которых выбрасывают центральный и его 6 соседей. То есть каждый кубик порождает 20 новых, в три раза меньших. Поэтому фрактальная размерность равна log320. Этот фрактал является универсальной кривой: любая кривая в трехмерном пространстве гомеоморфна некоторому подмножеству губки. У губки нулевой объем (так как на каждом шаге он умножается на 20/27), но при этом бесконечно большая площадь.

Давно не секрет, что объекты, обладающие признаками фракталов, воспринимаются человеческим глазом как высшее проявление гармонии и красоты. Кроны деревьев и горные хребты, уникальные узоры снежинок и «золотые» спирали морских раковин и волн, кристаллы и кораллы — мы готовы бесконечно созерцать их и в живой природе, и на полотнах художников.

Кацусика Хокусай. Большая волна в Канагаве.

Упрощенное научное определение фрактала (от латинского fractus — «дробленый, сломанный, разбитый») — множество, обладающее свойством самоподобия. Этим понятием также обозначают самоподобную геометрическую фигуру, каждый фрагмент которой повторяется при уменьшении его масштаба. Фрактальными характеристиками обладают многие системы человеческого организма: строение кровеносной системы, бронхиального дерева, нейронных сетей.

Лечение Поллоком

Ричард Тейлор из Орегонского университета занимается изучением фрактальных структур в целом и конкретно в живописи начиная с 1999. В частности, на примере полотен его соотечественникаДжексона Поллока. При помощи компьютерного анализа узоров, из которых сотканы картины, ученый установил, что они обладают качествами, присущими природным фрактальным явлениям — таким, как береговые линии, например. Именно этому фактору исследователь склонен приписывать непостижимую для многих популярность работ американского абстракциониста.

Со свойственной ученым дотошностью Ричард Тейлор принялся вычислять фрактальную размерность картин Поллока. Так он установил, что эта величина менялась от значения, близкого к единице, в 1943 году до коэффициента 1,72 в 1954-м. Физик предлагает использовать этот показатель для датировки и подтверждения подлинности работ, ведь, согласно его данным,а также исследованиям других ученых, фрактальный анализ может помочь определить подделку с гарантией до 93 процентов.

Для более точного изучения влияния фрактального искусства на человека Тэйлор использовал метод электроэнцефалографии (ЭЭГ), позволяющий фиксировать малейшие изменения функции коры головного мозга и глубинных мозговых систем. Он показал, что созерцание фрактальных паттернов сопровождается значительным снижением уровня стресса и даже ускоряет восстановление организма после хирургического вмешательства.

Эволюция фракталов

Фракталы давно и прочно обосновались в изобразительном искусстве, начиная с канувших в лету цивилизаций ацтеков,инков и майя, древнеегипетской и древнеримской. Во-первых, их достаточно сложно избежать при изображении живой природы, где фракталоподобные формы встречаются сплошь и рядом.

Одни из наиболее ранних и ярко выраженных образцов фрактальной живописи — пейзажные традиции древнего и средневекового Китая.

В 20 веке фрактальные структуры получили наибольшее распространение в направлениях оп-арт (оптическое искусство) и имп--арт (от слова impossible — невозможный). Первое из них выросло в 1950-е годы из абстракционизма, точнее говоря, отпочковалось от геометрической абстракции. Одним из первопроходцев оп-арта был Виктор Вазарели — французский художник с венгерскими корнями.

А вот на поприще имп-арта, которое выделяют как самостоятельное течение внутри оптического искусства,прославился нидерландский художник Мауриц Корнелис Эшер. Он применял в создании работ приемы, основанные на математических принципах.

Эшер набил руку в изображении «невозможных фигур»: создании оптических иллюзий, вводящих зрителей в заблуждение и заставляющих напрягаться вестибулярный аппарат.

Фрактальная сложность и мозг художника

Итак, рассматривание фракталов оставляет заметный след в мозговой деятельности человека, который даже фиксирует специальная аппаратура. Но существует и обратная взаимосвязь: психическое и ментальное здоровье художника может повлиять на количество и качество фрактальных композиций в его работах.

Один из хрестоматийных примеров — биография англичанина Луиса Уэйна, который после смерти жены от рака всего через три года после свадьбы увлекся рисованием антропоморфных котов, и сделал на этом неплохую карьеру. Он продолжал изображать кошачьих, даже когда попал в психиатрическую лечебницу с прогрессирующей шизофренией.

Здесь с его картинами начало происходить что-то невероятное: они расцвели кислотными психоделическими красками, а коты постепенно эволюционировали в дивные фрактальные структуры. И если бы открытие психотропных свойств ЛСД не было случайно обнаружено химиком Альбертом Хофманом спустя 4 года после смерти Луиса Уэйна, можно было бы предположить, что трансформация стиля художника — результат экспериментального лечения шизофрении, в котором действительно применялось это вещество, но только парой десятилетий позже.

Что касается заболеваний, приводящих к угасанию когнитивных функций и слабоумию, то здесь наблюдается обратная связь. Так было в случае с Виллемом де Кунингом, у которого в 1982 диагностировали болезнь Альцгеймера. Как отмечает в своей научной публикации Ричард Тейлор, о котором шла речь выше, фрактальная сложность его абстрактных картин стремительно уменьшалась пропорционально тому, как прогрессировала деменция художника. Анализ работ семи художников с различными неврологическими проблемами показал потенциал исследования предметов искусства в качестве нового инструмента для изучения таких заболеваний.

Так выглядели сложные фрактальные нагромождения на ранних картинах Виллема де Кунинга 1940-х годов.

А так — поздние работы, написанные в период болезни. По замечанию Тейлора, в них присутствует умиротворение, которого не хватало на полотнах художника в пору его творческого расцвета.

Фрактальная живопись нового времени

Сегодня создание фрактальных паттернов не составляет особого труда. Существует множество компьютерных программ,позволяющих синтезировать их в несметном количестве при соответствующей художественной ценности. Но все еще есть авторы, трудящиеся на этом поприще по старинке, используя не цифровые, а вполне осязаемые средства. Один из достойных внимания — доктор нейробиологии Пенсильванского университета Грег Данн.

Грег Данн. Гиппокамп II, 2010

Во-первых, для вдохновения он использует образцы из сферы своего непосредственного предмета изучения — различные клетки,отделы и процессы головного мозга, терминологические обозначения которых совпадают с названиями картин.

Грег Данн. Колонки кортекса, 2014

Во-вторых, ученый применяет нетривиальные материалы и технику: алюминиевые пластины, металлический порошок, золото, эмаль, слюду, чернила и так далее. На своей странице он признается: «Я восхищаюсь японскими, китайскими и корейскими мастерами живописи,их самодостаточностью и простотой. Я пытаюсь следовать их примеру».

Грег Данн. Синаптогенез, 2001

Если пока не получается заказать одну из работ американского нейробиолога, чтобы постоянно иметь перед глазами картину-антистресс, просто добавьте в закладки эту статью и возвращайтесь к ней всякий раз, когда уровень кортизола («гормона стресса») в крови начинает зашкаливать и доставлять дискомфорт.

Топ-10 художников фрактальной живописи от Артхива

Винсент Ван Гог

Звездная ночь

Дорога с кипарисами

Пит Мондриан

Церковь Святого Якова, Винтерсвейк

Ферма в Дювендрехте вечером

Микалоюс Константинас Чюрлёнис

Пауль Клее

Сальвадор Дали

Галатея со сферами

Морозные узоры на окне, замысловатая и неповторимая форма снежинок, сверкающие молнии в ночном небе завораживают и пленяют своей необыкновенной красотой. Однако мало кто знает, что все это является сложными фрактальными структурами.

Бесконечно самоподобные фигуры, каждый фрагмент которых повторяется при уменьшении масштаба, называются фракталами . Сосудистая система человека, система альвеол животного, извилины морских берегов, облака в небе, контуры деревьев, антенны на крышах домов, клеточная мембрана и звездные галактики - все это удивительное порождение хаотического движения мира есть фракталы.

Первые образцы самоподобных множеств с необычными свойствами появились в XIX веке. Термин «фракталы», который происходит от латинского слова «fractus» - дробный, ломанный, был введен Бенуа Мандельбротом в 1975 году. Таким образом, фрактал представляет собой структуру, состоящую из частей, подобных целому. Именно свойство самоподобия резко отличает фракталы от объектов классической геометрии.

Одновременно с выходом в свет книги «Фрактальная геометрия природы» (1977 год) фракталы получили всемирную известность и популярность.

Т ермин «фрактал» не является математическим понятием и в связи с этим не имеет строгого общепринятого математического определения. Более того, термин фрактал употребляется относительно любых фигур, обладающих какими-либо из нижеперечисленных свойств:

Нетривиальная структура на всех шкалах. Это свойство отличает фракталы таких регулярных фигур, как окружность, эллипс, график гладкой функции и т.п.


У величени е масштаба фрактала не приводит к упрощению его структуры, то есть на всех шкалах мы видим одинаково сложную картину, в то время, как при рассмотрении регулярной фигуры в крупном масштабе, она становится подобна фрагменту прямой.


Самоподобие или приближенное самоподобие.


Метрическая или дробная метрическая размеренность, значительно превосходящая топологическую .


Построение возможно лишь с помощью рекурсивной процедуры, то есть определение объекта или действия через себя.

Таким образом, фракталы можно разделить на регулярные и нерегулярные. Первые являются математической абстракции, то есть плодом воображения. К примеру, снежинка Коха или треугольник Серпинского. Вторая разновидность фракталов является результатом природных сил или деятельности человека. Н ерегулярные фракталы, в отличие от регулярных сохраняют способность к самоподобию в ограниченных пределах.

С каждым днем фракталы находят все большее и большее применение в науке и технике - они как нельзя лучше описывают реальный мир. Приводить примеры фрактальных объектов можно бесконечно долго, они повсюду окружают нас. Фрактал как природный объект представляет собой яркий пример вечного непрерывного движения, становления и развития.

Фракталы нашли широкое применение в компьютерной графи ке для построения изображения природных объектов, например, деревьев, кустов, горных массивов, поверхностей морей и прочее. Эффективным и успешным стало использование фракталов в децентрализованных сетях. К примеру, система назначения IP-адресов в сети Netsukuku использует принцип фрактального сжатия информации для компактного сохранения информации об узлах сети. Благодаря чему, каждый узел сети Netsukuku хранит всего 4 Кб информации о состоянии соседних узлов, более того любой новый узел подключается к общей сети без необходимости в центральном регулировании раздачи IP-адресов, что, например, активно применяется в сети Интернет. Таким образом, принцип фрактального сжатия информации обеспечивает максимально устойчивую работу всей сети.

Весьма перспективным является использование фрактальной геометрии при проектировании «фрактальных антенн».
В настоящее время фракталы стали активно использоваться в нанотехнологиях. Особенно популярны фракталы стали у трейдеров. С их помощью экономисты производят анализ курса фондовых бирж, вальных и торговых рынков. В нефтехимии фракталы применяются для создания пористых материалов. В биологии фракталы используются для моделирования развития популяций, а также для описания систем внтренних органов. Даже в литературе фракталы нашли свою нишу. Среди художественных произведений были найдены произведения с текстуальной, структурной и семантической фрактальной природой.

/БДЭ математика/

Множество Жюлиа (в честь французского математика Гастона Жюлиа (1893-1978), который вместе с Пьером Фату первым занаялся изучением фракталов. В 1970-х годах его работы популяризировал Бенуа Мандельброт )

Геометрические фракталы

История фракталов в XIX веке началось именно с изучения геометрических фракталов. Фракталы ярко отражают свойство самоподобия. Наиболее наглядными примерами геометрических фракталов являются:

Кривая Коха - несамопересекающаяся непрерывная кривая бесконечной длины. Эта кривая не имеет касательной ни в одной точке.
Множество Кантора - неплотное несчётное совершенное множество.
Губка Менгера - это аналог множества Кантора с тем лишь отличием, что построен этот фрактал в трехмерном пространстве.
Треугольник или ковер Серпинского также является аналогом множества Кантора на плоскоти.
Фракталы Вейерштрасса и Ван дер Вардена представляют собой недифференцируемую непрерывную функцию.
Траектория броуновский частицы также не дифференцируема.
Кривая Пеано - это непрерывная кривая, которая проходит через все точки квадрата.
Дерево Пифагора.

Рассмотрим триадную кривую Коха.
Для построение кривой существует простая рекурсивная процедура образования фракта кривых на плоскости. В первую очередь необходимо задать произвольную ломаную с конечным числом звеньев, так называемым генератором. Далее каждое звено заменяется образующим элементом, точнее ломаной, подобной генератору. В результате такой замены образуется новое поколение кривой Коха. В первом поколении кривая состоит из четырех прямолинейных звеньев, длина каждого из которых равна 1/3. Чтобы получить третье поколение кривой выполняют тот же алгоритм - каждое звено заменяется на уменьшенный образующий элемент. Таким образом, для получения каждого последующего поколения, все звенья предыдущего заменяются уменьшенным образующим элементов. Тогда, кривая n-го поколения при любом конечном n называется предфракталом. В случае, когда n стремится к бесконечности кривая Коха становится фрактальным объектом.

Обратимся к другому способу построения фрактального объекта. Для его создания необходимо изменить правила построение: пусть образующим элементом будут два равных отрезка, соединенных под прямым углом. В нулевом поколении заменяем единичный отрезок на образующий элемент таким образом, чтобы угол был сверху. То есть, при такой замене происходит смещение середины звена. Последующие поколения строятся по правилу: первое слева звено заменяется на образующий элемент тким образом, чтобы середина звена смещалась влево от направления движения. Далее замена звеньев чередуется. Предельная фрактальная кривая, построенная по такому правилу, называется драконом Хартера-Хейтуэя.

В компьютерной графике геометрические фраткалы используются для моделирования изображений деревьев, кустов, горных массивов, береговой линии. Двухмерные геометрические фракталы широко используются для создания объемных текстур.

Окончив университет, Мандельброт переехал в США, где окончил Калифорнийский технологический институт. По возвращении во Францию, он получил докторскую степень в Университете Парижа в 1952 году. В 1958 году Мандельброт окончательно поселился в США, где приступил к работе в научно-исследовательском центре IBM в Йорктауне . Он работал в области лингвистики, теории игр, экономики, аэронавтики, географии, физиологии, астрономии, физики.

Фракта́л (лат. fractus - дроблёный) - термин, введённый Бенуа Мандельбротом в 1975 году. До сих пор нет строгого математического определения фрактальных множеств. О н смог обобщить и систематезировать «неприятные» множества и построить красивую и интуитивно понятную теорию. Он открыл удивительный мир фракталов, красота и глубина которых порой поражают воображение, вызывают восторг у ученых, хужожников, философов… Работа Мандельброта была стимулирована передовыми компьютерными технологиями, которые позволили генерировать, визуализировать и исследовать различные множества.

Японский физик Ясунари Ватанаба создал компьютерную программу, рисующую прекрасные фрактальные орнаменты. Календарь из 12 месяцев был представлен на международной конферении "Математика и искусство" в Суздале.