Что такое пересечение множества. Пересечение множеств

Понятие теории множеств; пересечение множеств множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат одновременно всем данным множествам. Пересечение множеств А и В обозначают А?В или АВ …

Множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат одновременно всем данным множествам. П. м. A и B обозначают A∩B или AB; П. м. Ak, взятых в конечном или бесконечном числе, обозначают Ak. П. м. может быть пустым, то есть не… … Большая советская энциклопедия

Понятие теории множеств; П. м. множество, состоящее из всех тех элементов, к рые принадлежат одноврем. всем данным множествам. П. м …

Пересечение A и B Пересечение множеств в теории множеств это множество, состоящее из элементов, которые принадлежат одновременно всем данным множествам. Содержание 1 Определение 2 Замечание … Википедия

Раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств, преимущественно бесконечных. понятие множества простейшее математическое понятие, оно не определяется, а лишь поясняется при помощи примеров: множество книг на полке, множество точек … Большой Энциклопедический словарь

Раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств, преимущественно бесконечных. Понятие множества простейшее математическое понятие, оно не определяется, а лишь поясняется при помощи примеров: множество книг на полке, множество… … Энциклопедический словарь

Математическая теория, изучающая точными средствами проблему бесконечности. Предмет М. л. свойства множеств (совокупностей, классов, ансамблей), гл. обр. бесконечных. Множество A есть любое собрание определенных и различимых между собой объектов … Словарь терминов логики

Теория множеств раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств. Теория множеств лежит в основе большинства математических дисциплин; она оказала глубокое влияние на понимание предмета самой математики. Содержание 1 Теория… … Википедия

Раздел математики, в к ром изучаются общие свойства множеств, преим. бесконечных. Понятие множества простейшее матем. понятие, оно не определяется, а лишь поясняется при помощи примеров: множество книг на полке, множество точек на прямой… … Естествознание. Энциклопедический словарь

Книги

Считаю до 20. Рабочая тетрадь для детей 6 - 7 лет. ФГОС ДО , Шевелев Константин Валерьевич. Рабочая тетрадь предназначена для работы с детьми 6 7 лет. Способствует достижению целей блока Познание путем формирования элементарных математических представлений. Даны методические…

Цели урока :

образовательные: формирование умений выделять множества, подмножества; формирование навыков находить на изображениях область пересечения и объединения множеств и называть элементы из этой области, решать задачи;
развивающие: развитие познавательного интереса учащихся; развитие интеллектуальной сферы личности, развитие умений сравнивать и обобщать.
воспитательные: воспитывать аккуратность и внимательность при решении.

Ход урока.

1. Организационный момент.

2. Учитель сообщает тему урока, совместно с учащимися формулирует цели и задачи.

3. Учитель совместно с учащимися вспоминает материал, изученный по теме «Множества» в 7 классе, вводит новые понятия и определения, формулы для решения задач.

«Множество есть многое, мыслимое нами как единое» (основатель теории множеств – Георг Кантор). КАНТОР (Cantor) Георг (1845-1918) - немецкий математик, логик, теолог, создатель теории трансфинитных (бесконечных) множеств, оказавшей определяющее влияние на развитие математических наук на рубеже 19- 20 вв.

Множество - одно из основных понятий современной математики, используемое почти во всех её разделах.

К сожалению, основному понятию теории – понятию множества – нельзя дать строгого определения. Разумеется, можно сказать, что множество – это «совокупность», «собрание», «ансамбль», «коллекция», «семейство», «система», «класс» и т. д. однако всё это было бы не математическим определением, а скорее злоупотреблением словарным богатством русского языка.

Для того чтобы определить какое – либо понятие, нужно, прежде всего, указать, частным случаем какого более общего понятия, оно является, для понятия множества сделать это невозможно, потому что более общего понятия, чем множество, в математике нет.

Часто приходится говорить о нескольких вещах, объединенных некоторым признаком. Так, можно говорить о множестве всех стульев в комнате, о множестве всех клеток человеческого тела, о множестве всех картофелин в данном мешке, о множестве всех рыб в океане, о множестве всех квадратов на плоскости, о множестве всех точек на данной окружности т. д.

Предметы, составляющие данное множество, называются его элементами.

Например, множество дней недели состоит из элементов: понедельник, вторник, среда, четверг, пятница, суббота, воскресенье.

Множество месяцев – из элементов: январь, февраль, март, апрель, май, июнь, июль, август, сентябрь, октябрь, ноябрь, декабрь.

Множество арифметических действий - из элементов: сложение, вычитание, умножение, деление.

Например, если А означает множество всех натуральных чисел, то 6 принадлежит к А, а 3 не принадлежит к А.

Если А - множество всех месяцев в году, то май принадлежит к А, а среда не принадлежит к А.

Если множество содержит конечное число элементов, то его называют конечным, а если в нем бесконечно много элементов, то бесконечным. Так множество деревьев в лесу конечно, а множество точек на окружности бесконечно.

Парадокс в логике - это противоречие, имеющее статус логически корректного вывода и, вместе с тем, представляющее собой рассуждение, приводящее к взаимно исключающим заключениям.

Как уже упоминалось, понятие множества лежит в основе математики. Используя простейшие множества и различные математические конструкции, можно построить практически любой математический объект. Идею построения всей математики на основе теории множеств активно пропагандировал Г.Кантор. Однако, при всей своей простоте, понятие множества таит в себе опасность появления противоречий или, как ещё говорят, парадоксов. Появление парадоксов связано с тем, что далеко не всякие конструкции и не всякие множества можно рассматривать.

Самый простой из парадоксов - это "парадокс брадобрея ".

Одному солдату было приказано брить тех и только тех солдат его взвода, которые сами себя не бреют. Неисполнение приказа в армии, как известно, тягчайшее преступление. Однако возник вопрос, брить ли этому солдату самого себя. Если он побреется, то его следует отнести к множеству солдат, которые сами себя бреют, а таких брить он не имеет права. Если же он себя брить не будет, то попадёт во множество солдат, которые сами себя не бреют, а таких солдат согласно приказу он обязан брить. Парадокс.

Над множествами, как и над многими другими математическими объектами, можно совершать различные операции, которые иногда называют теоретико-множественными операциями или сет-операциями. В результате операций из исходных множеств получаются новые. Множества обозначаются заглавными латинскими буквами, а их элементы – строчными. Запись a R означает, что элемент а принадлежит множеству R , то есть а R . В противном случае, когда а не принадлежит множеству R , пишут a R .

Два множества А и В называются равными (А = В ), если они состоят из одних и тех же элементов, то есть каждый элемент множества А является элементом множества В и наоборот, каждый элемент множества В является элементом множества А .

Сравнение множеств.

Множество A содержится во множестве B (множество B включает множество A), если каждый элемент A есть элемент В:

Говорят, что множество А содержится в множестве В или множество А является подмножеством множества В (в этом случае пишут А В ), если каждый элемент множества А одновременно является элементом множества В . Эта зависимость между множествами называется включением . Для любого множества А имеют место включения: ØА и А А

В этом случае A называется подмножеством B , B - надмножеством A. Если , то A называется собственным подмножеством В . Заметим, что ,

По определению ,

Два множества называются равными , если они являются подмножествами друг друга

Операции над множествами

Пересечение.

Объединение.

Свойства.

1.Операция объединения множеств коммутативна

2.Операция объединения множеств транзитивна

3. Пустое множество X является нейтральным элементом операции объединения множеств

1. Пусть A = {1,2,3,4},B = {3,4,5,6,7}. Тогда

2. А={2,4,6,8,10}, В = {3,6,9,12}. Найдём объединение и пересечение этих множеств:

{2,4,6,8, 10,3,6,9,12}, = {6}.

3. Множество детей является подмножеством всего населения

4. Пересечением множества целых чисел с множеством положительных чисел является множество натуральных чисел.

5. Объединением множества рациональных чисел с множеством иррациональных чисел является множество положительных чисел.

6.Нуль является дополнением множества натуральных чисел относительно множества неотрицательных целых чисел.

Диаграммы Венна (Venn diagrams ) - общее название целого ряда методов визуализации и способов графической иллюстрации, широко используемых в различных областях науки и математики : теория множеств, собственно «диаграмма Венна» показывает все возможные отношения между множествами или событиями из некоторого семейства; разновидностями диаграмм Венна служат: диаграммы Эйлера,

Диаграмма Венна четырёх множеств.

Собственно «диаграмма Венна» показывает все возможные отношения между множествами или событиями из некоторого семейства. Обычная диаграмма Венна имеет три множества. Сам Венн пытался найти изящный способ с симметричными фигурами , представляющий на диаграмме большее число множеств, но он смог это сделать только для четырех множеств (см. рисунок справа), используя эллипсы.

Диаграммы Эйлера

Диаграммы Эйлера аналогичны диаграммам Венна.Диаграммы Эйлера можно использовать, для того, чтобы оценивать правдоподобность теоретико-множественных тождеств.

Задача 1. В классе 30 человек, каждый из которых поёт или танцует. Известно, что поют 17 человек, а танцевать умеют 19 человек. Сколько человек поёт и танцует одновременно?

Решение: Сначала заметим, что из 30 человек не умеют петь 30 - 17 = 13 человек.

Все они умеют танцевать, т.к. по условию каждый ученик класса поёт или танцует. Всего умеют танцевать 19 человек, из них 13 не умеют петь, значит, танцевать и петь одновременно умеют 19-13 = 6 человек.

Задачи на пересечение и объединение множеств.

Даны множества А = {3,5, 0, 11, 12, 19}, В = {2,4, 8, 12, 18,0}.
Найдите множества AU В,
Составьте не менее семи слов, буквы которых образуют подмножества множества
А -{к,а,р,у,с,е,л,ь}.
Пусть A - это множество натуральных чисел, делящихся на 2, а В - множество натуральных чисел, делящихся на 4. Какой вывод можно сделать относительно данных множеств?
На фирме работают 67 человек. Из них 47 знают английский язык, 35 - немецкий язык, а 23 - оба языка. Сколько человек фирмы не знают ни английского, ни немецкого языков?
Из 40 учащихся нашего класса 32 любят молоко, 21 - лимонад, а 15 - и молоко, и лимонад. Сколько ребят в нашем классе не любят ни молоко, ни лимонад?
12 моих одноклассников любят читать детективы, 18 -фантастику, трое с удовольствием читают и то, и другое, а один вообще ничего не читает. Сколько учеников в нашем классе?
Из тех 18 моих одноклассников, которые любят смотреть триллеры, только 12 не прочь посмотреть и мультфильмы. Сколько моих одноклассников смотрят одни «мультики», если всего в нашем классе 25 учеников, каждый из которых любит смотреть или триллеры, или мультфильмы, или и то и другое?
Из 29 мальчишек нашего двора только двое не занимаются спортом, а остальные посещают футбольную или теннисную секции, а то и обе. Футболом занимается 17 мальчишек, а теннисом - 19. Сколько футболистов играет в теннис? Сколько теннисистов играет в футбол?
65 % бабушкиных кроликов любят морковку, 10 % любят и морковку, и капусту. Сколько процентов кроликов не прочь полакомиться капустой?
В одном классе 25 учеников. Из них 7 любят груши, 11 -черешню. Двое любят груши и черешню; 6 - груши и яблоки; 5 -яблоки и черешню. Но есть в классе два ученика, которые любят все и четверо таких, что не любят фруктов вообще. Сколько учеников этого класса любят яблоки?
В конкурсе красоты участвовали 22 девушки. Из них 10 было красивых, 12 -умных и 9 -добрых. Только 2 девушки были и красивыми, и умными; 6 девушек были умными и одновременно добрыми. Определите, сколько было красивых и в то же время добрых девушек, если я скажу вам, что среди участниц не оказалось ни одной умной, доброй и вместе с тем красивой девушки?
В нашем классе 35 учеников. За первую четверть пятерки по русскому языку имели 14 учеников; по математике - 12; по истории - 23. По русскому и математике - 4; по математике и истории - 9; по русскому языку и истории - 5. Сколько учеников имеют пятерки по всем трем предметам, если в классе нет ни одного ученика, не имеющего пятерки хотя бы по одному из этих предметов?
Из 100 человек 85 знают английский язык, 80 - испанский, 75 - немецкий. Все владеют, по крайней мере, одним иностранным языком. Среди них нет таких, которые знают два иностранных языка, но есть владеющие тремя языками. Сколько человек из этих 100 знают три языка?
Из сотрудников фирмы 16 побывали во Франции, 10 -в Италии, 6 - в Англии; в Англии и Италии - 5; в Англии и Франции - 6; во всех трех странах - 5 сотрудников. Сколько человек посетили и Италию, и Францию, если всего в фирме работают 19 человек, и каждый из них побывал хотя бы в одной из названных стран?

5. Подведение итогов урока.

6. Рефлексия.

Мне больше всего удалось…
Для меня было открытием то, что …
За что ты можешь себя похвалить?
Что на ваш взгляд не удалось? Почему? Что учесть на будущее?
Мои достижения на уроке.

7. Домашнее задание.

Макарычев. Пункт 13. №263, №264, №265, №266, № 271, №272.
Составить задачи на применение теории множеств.
По группам подготовить презентации по теме « Множества».

Цель: Ввести понятие «пересечение» множеств и соответствующие им графические модели в виде кругов Эйлера. Ввести обозначение пересечения множеств.

Повторение, проверка д/з:

Что обозначает слово «множество»?

Что мы называем элементом множества?

Что бывает элементами множества?

Как различают множества по числу элементов?

Какими способами можно задать множество? (перечисление элементов, характеристическое свойство)

Какое свойство называется характеристическим свойством?

Какие множества называются равными?

Какие математические «иероглифы» мы используем для сокращенной записи?

Что такое подмножество?

Что такое круги Эйлера? Зачем они? (Круги Эйлера – геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления)

Что такое объединение множеств? Знак объединения.

Решить упражнение 1, 2, 3. Проверить упражнения 1, 2 из д/з.

Проверить упражнение 3 из д/з (все предложенные варианты решений)

Проверить упражнения из домашнего задания:

Даны множества: А = {2; 3; 8}, В = {2; 3; 8; 11} и С = {5; 11}.

Найти: а) А ∪ В; б) А ∪ С; в) С ∪ В.

А – множество четных натуральных чисел, В – множество двузначных чисел. Составьте характеристическое свойство объединения этих множеств. Приведите примеры элементов этого множества.

Решение: А ∪ В - множество четных натуральных чисел или двузначные числа. Примеры 4, 8, 11, 32, 51 и т.д.

В классе 30 человек, каждый из которых поёт или танцует. Известно, что поют 17 человек, а танцевать умеют 19 человек. Сколько человек поёт и танцует одновременно?

Решение:Сначала заметим, что из 30 человек (на 1 рисунке – множество В) не умеют петь 30 – 17 (на 1 рисунке – множество А) = 13 человек (на 1 рисунке – заштрихованное множество).

Таким образом, 13 человек не умеют петь. Все они умеют танцевать, т.к. по условию каждый ученик класса поёт или танцует. Всего умеют танцевать 19 человек (на 2 рисунке – множество В) , из них 13 (на 2 рисунке – множество А) не умеют петь, значит, танцевать и петь одновременно умеют 19-13 = 6 человек (на 2 рисунке – заштрихованное множество) .

Упражнение 1: Составить задачу по рисунку:

Упражнение 2: Даны множества: А = {1; 2; 5; 7} и В = {3; 5; 7}. Найти объединение этих множеств.

Решение: А ∪ В = {1; 2; 5; 7; 3}.

Упражнение 3: Даны множества: А = {3, 5, 0, 11, 12, 19}, В = {2, 4, 8, 12, 18, 0}. Найдите множество A U В.

Решение: А ∪ В = { 3, 5, 0, 11, 12, 19, 2, 4, 8, 18}.

Открытие нового знания: ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОЖЕСТВ

Как получилось множество «фрукты» на рисунке? (объединение множеств «яблоки» и «груши»)

Как вы думаете, как получилось множество «желтые»? Что входит в это множество, какие элементы?

Верно, желтые груши и желтые яблоки – множество, образованное в результате пересечения множества «яблоки» и множества «груши».

Какие же элементы являются пересечением этих множеств? (общие, одинаковые)

Упражнение 1: Даны два множества А = {1; 2; 5; 7} и В = {4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}. Как вы думаете, какие элементы этих множеств будут их пересечением?

Рассмотрите еще один рисунок и попытайтесь составить определение пересечения двух множеств.

Пересечением множеств X и Y называют множество, состоящее из всех общих (одинаковых) элементов множеств X и Y , т.е. из всех элементов, которые принадлежат и множеству X , и множеству Y .

Как вы думаете, какое арифметическое действие соответствует пересечению? (умножение, произведение)

Обозначение: X ∩ Y .

Множества удобно изображать в виде кругов Эйлера.

На рисунке множество пересечения множеств X и Y закрашено в оранжевый цвет.

Как мы будем составлять пересечение двух множеств?

Для того чтобы составить пересечение двух числовых множеств, надо последовательно брать элементы первого множества и проверять, принадлежат ли они второму множеству. Те из них, которые принадлежат, и будут составлять пересечение.

Упражнение 2: Найди пересечение множеств A и B , если A ={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} и B ={2,4,6,8,10}.

A ∩ B ={2,4,6,8}.

Упражнение 3: Найди пересечение множеств A и B , если A ={2,4,6} и B ={2,4,6,8,10}. Изобразите решение с помощью кругов Эйлера.

Решение: Найдём общие (одинаковые) элементы множеств.

A ∩ B ={2,4,6,} = А.

Упражнение 4: Найди пересечение множеств A и B , если A ={0,1,2,3,4,5} и B ={6,8,10}. Изобразите решение с помощью кругов Эйлера.

Решение: Найдём общие (одинаковые) элементы множеств. Их нет.

A ∩ B =.

6 –А

Если два множества не имеют общих элементов, то пересечением этих множеств является пустое множество.

Как мы можем найти пересечение трех множеств?

Изобразите при помощи кругов Эйлера объединение трех множеств: А, В и С.

В каком порядке вы их пересекали?

Действительно, результат пересечения множеств не зависит от порядка действий :

Свойства пересечения множеств:

1.Операция пересечения множеств коммутативна: А ∩ В = В ∩ А;

2.Операция пересечения множеств транзитивна: (А ∩ В) ∩ С = А ∩ (В ∩ С);

3. Универсальное множество X является нейтральным элементом операции пересечения множеств: А ∩ Х = А;

4. Операция пересечения множеств идемпотентна: А ∩ А = А;

5. Если - пустое множество, то: А ∩ = .

Подведение итогов урока, рефлексия

Мне больше всего удалось…

Для меня было открытием то, что …

За что ты можешь себя похвалить?

Что на ваш взгляд не удалось? Почему? Что учесть на будущее?

Мои достижения на уроке.

Домашнее задание: конспект, упражнения:

Даны множества: А = {a ; b ; c ; d }, В = {c ; d ; e ; f } и С = {c ; e ; q ; k }.

Найти: (А ∪ В) ∪ С.

А – множество четных натуральных чисел, В – множество двузначных чисел. Составьте характеристическое свойство пересечения этих множеств. Приведите примеры элементов этого множества.

Решение: А ∩ В - множество четных натуральных чисел и двузначных чисел. Примеры 42, 86, 12, 32, 50 и т.д.

Каждый учащийся в классе изучает английский или французский язык. Английский язык изучают 25 учащихся, французский - 27 учащихся, а два языка - 18 учащихся. Сколько учащихся в классе?

Содержание урока

Пересечение множеств

Рассмотрим два множества: множество друзей Джона и множество друзей Майкла.

Видим, что Том и Фред одновременно являются друзьями Джона и Майкла.

Говоря на языке множеств, элементы Том и Фред принадлежат как множеству друзей Джона, так и множеству друзей Майкла.

и в качестве элементов добавим в него Тома и Фреда :

В данном случае множество «Общие друзья Джона и Майкла» является пересечением множеств друзей Джона и Майкла.

Пересечением двух (или нескольких) исходных множеств называется множество, которое состоит из элементов, принадлежащих каждому из исходных множеств.

В нашем случае элементы Том и Фред принадлежат каждому из исходных множеств, а именно: множеству друзей Джона и множеству друзей Майкла.

Обозначим множество друзей Джона через букву A , множество друзей Майкла — через букву B , а множество общих друзей Джона и Майкла обозначим через букву C :

A = { Том, Фред, Макс, Джордж }

B = { Лео, Том, Фред, Эван }

C = { Том, Фред }

Тогда пересечением множеств A и B будет множество C и записываться следующим образом:

A ∩ B = C

Символ ∩ означает пересечение.

Говоря о множестве, обычно подразумевают элементы, принадлежащие этому множеству. Символ пересечения ∩ читается, как союз И . Тогда выражение A ∩ B = C можно прочитать следующим образом:

«Элементы, принадлежащие множеству A И множеству B, есть элементы, принадлежащие множеству C».

Или еще проще:

«Друзья, одновременно принадлежащие Джону И Майклу, есть общие друзья Джона и Майкла».

Теперь представим, что у Джона и Майкла нет общих друзей. Для удобства, как и прежде обозначим множество друзей Джона через букву A , а множество друзей Майкла через букву B

A = { Макс, Джордж }

B = { Лео, Эван }

В этом случае говорят, что исходные множества не имеют общих элементов и пересечением таких множеств является пустое множество. Пустое множество обозначается символом ∅

A ∩ B = ∅

Пример 2 A , состоящее из чисел 1, 2, 3, 5, 7 и множество B , состоящее из чисел 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18

A = { 1, 2, 3, 5, 7 }

B = { 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18 }

Зададим новое множество C A и множеству B

C = { 1, 2, 3 }

Множество С A и B C A и множеству B

Пример 3 . Рассмотрим два множества: множество A , состоящее из чисел 1, 5, 7, 9 и множество B , состоящее из чисел 1, 4, 5, 7

A = { 1, 5, 7, 9 }

B = { 1, 4, 5, 7 }

Зададим новое множество C и добавим в него элементы, которые одновременно принадлежат множеству A и множеству B

C = { 1, 5, 7 }

Множество С является пересечением множеств A и B , поскольку элементы множества C одновременно принадлежат множеству A и множеству B.

Пример 4 . Найти пересечение следующих множеств:

A = { 1, 2, 3, 7, 9 }

B = { 1, 3, 5, 7, 9}

С = { 3, 4, 5, 8, 9}

Пересечением множеств A , B и C будет множество, состоящее из элементов, принадлежащих каждому из множеств A , B и C . Этими элементами являются числа 3 и 9.

Зададим новое множество D и добавим в него элементы 3 и 9. Затем с помощью символа пересечения ∩ запишем, что пересечением множеств A, B и C является множество D

D = { 2, 3}

A ∩ B ∩ C = D

Чтобы найти пересечение, вовсе необязательно задавать множества с помощью букв. Если элементов мало, то множество можно задать прямым перечислением элементов.

К примеру, пусть первое множество состоит из элементов 1, 3, 5, а второе из элементов 2, 3, 5 . Пересечением в данном случае является множество, состоящее из элементов 3 и 5 . Чтобы записать пересечение, можно воспользоваться прямым перечислением:

{ 1, 3, 5 } ∩ { 2, 3, 5 } = { 3, 5 }

Числовые промежутки, которые мы рассмотрели в предыдущих уроках, тоже являются множествами. Элементами таких множеств являются числа, входящие в числовой промежуток.

Например, отрезок можно понимать, как множество всех чисел от 2 до 6. Для наглядности можно перечислить все целые числа, принадлежащие данному отрезку:

2, 3, 4, 5, 6 ∈

Следует иметь ввиду, что мы перечислили только целые числа. Отрезку также принадлежат и другие числа, не являющиеся целыми, например, десятичные дроби. Десятичные дроби располагаются между целыми числами, но их количество настолько велико, что перечислить их не представляется возможным.

Еще пример. Интервал (2; 6) можно понимать, как множество всех чисел от 2 до 6, кроме чисел 2 и 6. Ранее мы говорили, что интервал это такой числовой промежуток, границы которого не принадлежат ему. Для наглядности можно перечислить все целые числа, принадлежащие интервалу (2; 6) :

3, 4, 5 ∈ (2; 6)

Поскольку числовые промежутки являются множествами, то мы можем находить пересечения между различными числовыми промежутками. Рассмотрим несколько примеров.

Пример 5 . Даны два числовых промежутка: и . Найти их пересечение.

Для наглядности перечислим все целые числа, принадлежащие промежуткам и :

2, 3, 4, 5, 6 ∈

4, 5, 6, 7, 8 ∈

Видно, что числа 4, 5, 6 принадлежат как первому промежутку , так и второму .

Тогда пересечением числовых промежутков и будет числовой промежуток

∩ =

Изобразим промежутки и на координатной прямой. На верхней области отметим числовой промежуток , на нижней — промежуток

Видно, что числа, принадлежащие промежутку , принадлежат как промежутку , так и промежутку . Можно также заметить, что штрихи, входящие в промежутки и пересекаются в промежутке . В такой ситуации, когда перед глазами есть координатная прямая, понятие пересечения множеств можно понимать в прямом смысле, что очень удобно.

Пример 6 . Найти пересечение числовых промежутков [−2; 3] и

Оба промежутка обрамлены квадратными скобками, значит их границы принадлежат им.

Для наглядности перечислим все целые числа, принадлежащие промежуткам [−2; 3] и :

−2, −1, 0, 1, 2, 3 ∈ [−2; 3]

4, 5, 6, 7 ∈

Видно, что числовые промежутки [−2; 3] и не имеют общих чисел. Поэтому их пересечением будет пустое множество:

[−2; 3] ∩ = Ø

Если изобразить числовые промежутки [−2; 3] и на координатной прямой, то можно увидеть, что они нигде не пересекаются:

Пример 7 . Дано множество из одного элемента { 2 } . Найти его пересечение с промежутком (−3; 4)

Множество, состоящее из одного элемента { 2 } , на координатной прямой изображается в виде закрашенного кружка, а числовой промежуток (−3; 4) это интервал, границы которого не принадлежат ему. Значит границы −3 и 4 будут изображаться в виде пустых кружков:

Пересечением множества { 2 } и числового промежутка (−3; 4) будет множество, состоящее из одного элемента { 2 } , поскольку элемент 2 принадлежит как множеству { 2 } , так и числовому промежутку (−3; 4)

{ 2 } ∩ (−3; 4) = { 2 }

На самом деле мы уже занимались пересечением числовых промежутков, когда решали системы линейных неравенств. Вспомните, как мы решали их. Сначала находили множество решений первого неравенства, затем множество решений второго. Затем находили множество решений, которые удовлетворяют обоим неравенствам.

По сути, множество решений, удовлетворяющих обоим неравенствам, является пересечением множеств решений первого и второго неравенства. Роль этих множеств берут на себя числовые промежутки.

Например, чтобы решить систему неравенств , мы должны сначала найти множества решений каждого неравенства, затем найти пересечение этих множеств.

В данном примере решением первого неравенства x ≥ 3 является множество всех чисел, которые больше 3 (включая само число 3). Иначе говоря, решением неравенства является числовой промежуток

А общим решением системы будет пересечение множеств решений первого и второго неравенства, то есть пересечение числовых промежутков

Если мы изобразим множество решений системы на координатной прямой, то увидим, что эти решения принадлежат промежутку , который в свою очередь является пересечением промежутков

Поэтому в качестве ответа мы указывали, что значения переменной x принадлежат числовому промежутку , то есть пересечению множеств решений первого и второго неравенства

x ∈

Пример 2 . Решить неравенство

Все неравенства, входящие в систему уже решены. Нужно только указать те решения, которые являются общими для всех неравенств.

Решением первого неравенства является числовой промежуток (−∞; −1) .

Решением второго неравенства является числовой промежуток (−∞; −5) .

Решением третьего неравенства является числовой промежуток (−∞; 4) .

Решением системы будет пересечение числовых промежутков (−∞; −1), (−∞; −5) и (−∞; 4) . В данном случае этим пересечением является промежуток (−∞; −5) .

(−∞; −1) ∩ (−∞; −5) ∩ (−∞; 4) = (−∞; −5)

На рисунке представлены числовые промежутки и неравенства, которыми эти числовые промежутки заданы. Видно, что числа, принадлежащие промежутку (−∞; −5) , одновременно принадлежат всем исходным промежуткам.

Запишем ответ к системе с помощью числового промежутка:

x ∈ (−∞; −5)

Пример 3 . Решить неравенство

Решением первого неравенства y > 7 является числовой промежуток (7; +∞) .

Решением второго неравенства y < 4 является числовой промежуток (−∞; 4) .

Решением системы будет пересечение числовых промежутков (7; +∞) и (−∞; 4) .

В данном случае пересечением числовых промежутков (7; +∞) и (−∞; 4) является пустое множество, поскольку эти числовые промежутки не имеют общих элементов:

(7; +∞) ∩ (−∞; 4) = ∅

Если изобразить числовые промежутки (7; +∞) и (−∞; 4) на координатной прямой, то можно увидеть, что они нигде не пересекаются:

Объединение множеств

Объединением двух (или нескольких) исходных множеств называют множество, которое состоит из элементов, принадлежащих хотя бы одному из исходных множеств.

На практике объединение множеств состоит из всех элементов, принадлежащих исходным множествам. Поэтому и говорят, что элементы такого множества принадлежат хотя бы одному из исходных множеств.

Рассмотрим множество A с элементами 1, 2, 3 и множество B с элементами 4, 5, 6.

A = { 1, 2, 3 }

B = { 4, 5, 6 }

Зададим новое множество C A и все элементы множества B

C = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

В данном случае объединением множеств A и B является множество C и обозначается следующим образом:

A ∪ B = C

Символ ∪ означает объединение и заменяет собой союз ИЛИ . Тогда выражение A ∪ B = C можно прочитать так:

Элементы, принадлежащие множеству A ИЛИ множеству B, есть элементы, принадлежащие множеству C.

В определении объединения сказано, что элементы такого множества принадлежат хотя бы одному из исходных множеств. Данную фразу можно понимать в прямом смысле.

Вернёмся к созданному нами множеству C , куда входят все элементы множеств A и B . Возьмём для примера из этого множества элемент 5. Что можно про него сказать?

Если 5 является элементом множества C , а множество С является объединением множеств A и B , то можно с уверенностью заявить, что элемент 5 принадлежит хотя бы одному из множеств A и B . Так оно и есть:

A = { 1, 2, 3 }

B = { 4, 5 , 6 }

C = { 1, 2, 3, 4, 5 , 6 }

Возьмем ещё один элемент из множества С , например, элемент 2. Что можно про него сказать?

Если 2 является элементом множества C , а множество С является объединением множеств A и B , то можно с уверенностью заявить, что элемент 2 принадлежит хотя бы одному из множеств A и B . Так оно и есть:

A = {1, 2 , 3}

B = {4, 5, 6}

C = { 1, 2 , 3, 4, 5, 6 }

Если мы захотим объединить два или более множества и вдруг обнаружим, что один или несколько элементов принадлежат каждому из этих множеств, то в объединение повторяющиеся элементы будут входить только один раз.

Например, рассмотрим множество A с элементами 1, 2, 3, 4 и множество B с элементами 2, 4, 5, 6.

A = {1, 2 , 3, 4 }

B = {2 , 4 , 5, 6}

Видим, что элементы 2 и 4 одновременно принадлежат и множеству A , и множеству B . Если мы захотим объединить множества A и B , то новое множество C будет содержать элементы 2 и 4 только один раз. Выглядеть это будет так:

C = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

Чтобы при объединении не допустить ошибок, обычно поступают так: сначала в новое множество добавляют все элементы первого множества, затем добавляют элементы второго множества, которые не принадлежат первому множеству. Попробуем сделать такое объединение с множествами A и B .

Итак, у нас имеются следующие исходные множества:

A = { 1, 2, 3, 4 }

B = { 2, 4, 5, 6 }

Зададим новое множество С и добавим в него все элементы множества A

C = { 1, 2, 3, 4,

Теперь добавим элементы из множества B , которые не принадлежат множеству A . Множеству A не принадлежат элементы 5 и 6 . Их и добавим во множество C

C = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

Пример 2 . Друзьями Джона являются Том, Фред, Макс и Джордж. А друзьями Майкла являются Лео, Том, Фред и Эван. Найти объединение множеств друзей Джона и Майкла.

Для начала зададим два множества: множество друзей Джона и множество друзей Майкла.

Зададим новое множество с названием «Все друзья Джона и Майкла» и добавим в него всех друзей Джона и Майкла.

Заметим, что Том и Фред одновременно являются друзьями Джона и Майкла, поэтому мы добавим их в новое множество только один раз, поскольку сразу двух Томов и двух Фредов не бывает.

В данном случае множество всех друзей Джона и Майкла является объединением множеств друзей Джона и Майкла.

Друзья Джона ∪ Друзья Майкла = Все друзья Джона и Майкла

Пример 3 . Даны два числовых промежутка: [−7; 0] и [−3; 5] . Найти их объединение.

Оба промежутка обрамлены квадратными скобками, значит их границы принадлежат им.

Для наглядности перечислим все целые числа, принадлежащие этим промежуткам:

−7, −6, −5, −4, −3,−2, −1 , 0 ∈ [−7; 0]

−3,−2, −1 , 0, 1, 2, 3, 4, 5 ∈ [−3; 5]

Объединением числовых промежутков [−7; 0] и [−3; 5] будет числовой промежуток [−7; 5] , который содержит все числа промежутка [−7; 0] и [−3; 5] без повторов некоторых из чисел

−7, −6, −5, −4, −3,−2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ∈ [−7; 5]

Обратите внимание, что числа −3,−2, −1 принадлежали и первому промежутку и второму. Но поскольку в объединение допускается включать такие элементы только один раз, мы включили их единоразово.

Значит объединением числовых промежутков [−7; 0] и [−3; 5] будет числовой промежуток [−7; 5]

[−7; 0] ∪ [−3; 5] = [−7; 5]

Изобразим на координатной прямой промежутки [−7; 0] и [−3; 5] . На верхней области отметим числовой промежуток [−7; 0] , на нижней — промежуток [−3; 5]

Ранее мы выяснили, что промежуток [−7; 5] является объединением промежутков [−7; 0] и [−3; 5] . Здесь полезно вспомнить про определение объединения множеств, которое было приведено в самом начале. Объединение трактуется, как множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из исходных множеств.

Действительно, если взять любое число из промежутка [−7; 5] , то окажется, что оно принадлежит хотя бы одному из промежутков: либо промежутку [−7; 0] либо промежутку [−3; 5] .

Возьмём из промежутка [−7; 5] любое число, например число 2 . Поскольку промежуток [−7; 5] является объединением промежутков [−7; 0] и [−3; 5] , то число 2 будет принадлежать хотя бы одному из этих промежутков. В данном случае число 2 принадлежит промежутку [−3; 5]

Возьмём ещё какое-нибудь число. Например, число −4 . Это число будет принадлежать хотя бы одному из промежутков: [−7; 0] или [−3; 5] . В данном случае оно принадлежит промежутку [−7; 0]

Возьмём ещё какое-нибудь число. Например, число −2 . Оно принадлежит как промежутку [−7; 0] , так и промежутку [−3; 5] . Но на координатной прямой оно указывается только один раз, поскольку в одной точке сразу два числа −2 не бывает.

Не каждое объединение числовых промежутков является числовым промежутком. Например, попробуем найти объединение числовых промежутков [−2; −1] и .

Идея остаётся та же самая — объединением числовых промежутков [−2;−1] и будет множество, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из промежутков: [−2; −1] или . Но это множество не будет являться числовым промежутком. Для наглядности перечислим все целые числа, принадлежащие этому объединению:

[−2; −1] ∪ = { −2, −1, 4, 5, 6, 7 }

Получили множество { −2, −1, 4, 5, 6, 7 } . Это множество не является числовым промежутком по причине того, что числа, располагающиеся между −1 и 4 , не вошли в полученное множество

Числовой промежуток должен содержать все числа от левой границы до правой. Если одно из чисел отсутствует, то числовой промежуток теряет смысл. Допустим, имеется линейка длиной 15 см

Эта линейка является числовым промежутком , поскольку содержит все числа в промежутке от 0 до 15 включительно. Теперь представим, что на линейке после числа 9 сразу следует число 12.

Эта линейка не является линейкой в 15 см, и её нежелательно использовать для измерения. Также, её нельзя назвать числовым промежутком , поскольку она не содержит все числа, которые должна была содержать.

Решение неравенств, содержащих знак ≠

Некоторые неравенства содержат знак ≠ (не равно). Например, 2x ≠ 8 . Чтобы решить такое неравенство, нужно найти множество значений переменной x , при которых левая часть не равна правой части.

Решим неравенство 2x ≠ 8 . Разделим обе части данного неравенства на 2, тогда получим:

Получили равносильное неравенство x ≠ 4 . Решением этого неравенства является множество всех чисел, не равных 4. То есть, если мы подставим в неравенство x ≠ 4 любое число, которое не равно 4, то получим верное неравенство.

Подставим, например, число 5

5 ≠ 4 — верное неравенство, поскольку 5 не равно 4

Подставим 7

7 ≠ 4 — верное неравенство, поскольку 7 не равно 4

И поскольку неравенство x ≠ 4 равносильно исходному неравенству 2x ≠ 8 , то решения неравенства x ≠ 4 будут подходить и к неравенству 2x ≠ 8 . Подставим те же тестовые значения 5 и 7 в неравенство 2x ≠ 8 .

2 × 5 ≠ 8

2 × 7 ≠ 8

x ≠ 4 на координатной прямой. Для этого выколем точку 4 на координатной прямой, а всю оставшуюся область с обеих сторон выделим штрихами:

Теперь запишем ответ в виде числового промежутка. Для этого воспользуемся объединением множеств. Любое число, являющееся решением неравенства 2x ≠ 8 будет принадлежать либо промежутку (−∞; 4) либо промежутку (4; +∞). Так и записываем, что значения переменной x принадлежат (−∞; 4) или (4; +∞) . Напомним, что для слова «или» используется символ ∪

x ∈ (−∞; 4) ∪ (4; +∞)

x , принадлежат промежутку (−∞; 4) или промежутку (4; +∞).

Неравенства, содержащие знак ≠ , также можно решать, как обычные уравнения. Для этого знак ≠ заменяют на знак = . Тогда получится обычное уравнение. В конце решения найденное значение переменной x нужно исключить из множества решений.

Решим предыдущее неравенство 2x ≠ 8 , как обычное уравнение. Заменим знак ≠ на знак равенства = , получим уравнение 2x = 8 . Разделим обе части данного уравнения на 2 , получим x = 4 .

Видим, что при x , равном 4, уравнение обращается в верное числовое равенство. При других значениях равенства соблюдаться не будет. Эти другие значения нас и интересуют. А для этого достаточно исключить найденную четвёрку из множества решений.

Пример 2 . Решить неравенство 3x − 5 ≠ 1 − 2x

Перенесем −2x из правой части в левую часть, изменив знак, а −5 из левой части перенесём в правую часть, опять же изменив знак:

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

Разделим обе части получившегося неравенства на 5

Решением неравенства x ≠ 1,2 является множество всех чисел, не равных 1,2 .

Изобразим множество решений неравенства x ≠ 1,2 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

x ∈ (−∞; 1,2) ∪ (1,2; +∞)

В этом выражении говорится, что значения, принимаемые переменной x принадлежат промежутку (−∞; 1,2) или промежутку (1,2; +∞)

Решение совокупностей неравенств

Рассмотрим ещё один вид неравенств, который называется совокупностью неравенств . Такой тип неравенств, возможно, вы будете решать редко, но для общего развития полезно изучить и их.

Совокупность неравенств очень похожа на систему неравенств. Различие в том, что в системе неравенств нужно найти множество решений, удовлетворяющих каждому неравенству, образующему эту систему.

А в случае с совокупностью неравенств, нужно найти множество решений, удовлетворяющих хотя бы одному неравенству, образующему эту совокупность.

Совокупность неравенств обозначается квадратной скобкой. Например, следующая запись из двух неравенств является совокупностью:

Решим данную совокупность. Сначала нужно решить каждое неравенство по отдельности.

Решением первого неравенства x ≥ 3 является числовой промежуток .

Множество значений x , при которых верно хотя бы одно из неравенств, будут принадлежать промежутку . Так и записываем:

x ∈

В этом выражении говорится, что переменная x , входящая в
совокупность принимает все значения, принадлежащие промежутку . А это то, что нам нужно. Ведь решить совокупность означает найти множество решений, удовлетворяющих хотя бы одному неравенству, образующему эту совокупность. А любое число из промежутка будет удовлетворять хотя бы одному неравенству.

Например, число 9 из промежутка удовлетворяет второму неравенству x ≤ 6.

Посмотрите внимательно на выражение x ∈ , а именно на его правую часть. Ведь выражение представляет собой объединение числовых промежутков . Точнее, объединение множеств решений первого и второго неравенства.

Стало быть, решением совокупности неравенств является объединение множеств решений первого и второго неравенства.

Иначе говоря, решением совокупности будет объединение числовых промежутков

Объединением числовых промежутков является промежуток (−∞; +∞) . Точнее, объединением числовых промежутков является вся координатная прямая. А вся координатная прямая это все числа, которые только могут быть

= (−∞; +∞)

x ∈

x ∈ (−∞; +∞)

Возьмём любое число из полученного объединения, и проверим удовлетворяет ли оно хотя бы одному неравенству.

Возьмем для примера число 8. Оно удовлетворяет первому неравенству x ≥ 3.

8 ≥ 3

Возьмем еще какое-нибудь число, например, число 1. Оно удовлетворяет второму неравенству x ≤ 6

Возьмем еще какое-нибудь число, например, число 5 . Оно удовлетворяет и первому неравенству x ≥ 3 и второму x ≤ 6

Пример 2

Чтобы решить эту совокупность, нужно найти множество решений, которые удовлетворяют хотя бы одному неравенству, образующему эту совокупность.

Для начала найдём множество решений первого неравенства x < −0,25 . Этим множеством является числовой промежуток (−∞; −0,25) .

x ≥ −7 является числовой промежуток [−7; +∞).

x ∈ (−∞; −0,25) ∪ [−7; +∞)

Иначе говоря, решением совокупности будет объединение числовых промежутков (−∞; −0,25) и [−7; +∞)

Объединением числовых промежутков (−∞; −0,25) и [−7; +∞) является является вся координатная прямая. А вся координатная прямая это все числа, которые только могут быть

(−∞; −0,25) ∪ [−7; +∞) = (−∞; +∞)

Ответ можно оставить таким, каким мы его записали ранее:

x ∈ (−∞; −0,25) ∪ [−7; +∞)

либо заменить на более короткий:

x ∈ (−∞; +∞)

Пример 3 . Решить совокупность неравенств